Proprietățile asociative și comutative

Există mai multe proprietăți matematice care sunt utilizate în statistici și probabilitate; două dintre acestea, proprietățile comutative și asociative, sunt în general asociate cu aritmetica de bază a numere întregi, raționamente și numere realedeși se manifestă și în matematica mai avansată.

Aceste proprietăți - comutativ și asociativ - sunt foarte similare și pot fi ușor amestecate. Din acest motiv, este important să înțelegem diferența dintre cei doi.

Proprietatea comutativă privește ordinea anumitor operații matematice. Pentru o operație binară - una care implică doar două elemente - acest lucru poate fi arătat prin ecuația a + b = b + a. Operația este comutativă deoarece ordinea elementelor nu afectează rezultatul operației. Proprietatea asociativă, pe de altă parte, privește gruparea elementelor într-o operație. Acest lucru poate fi arătat de ecuația (a + b) + c = a + (b + c). Gruparea elementelor, așa cum este indicat de paranteze, nu afectează rezultatul ecuației. Rețineți că atunci când este utilizată proprietatea comutativă, elementele dintr-o ecuație sunt

Mai simplu spus, proprietatea comutativă afirmă că factorii dintr-o ecuație pot fi rearanjați liber, fără a afecta rezultatul ecuației. Prin urmare, proprietatea comutativă se referă la ordonarea operațiunilor, inclusiv la adăugarea și înmulțirea numerelor reale, a numerelor întregi și a numerelor raționale.

De exemplu, numerele 2, 3 și 5 pot fi adăugate împreună în orice ordine, fără a afecta rezultatul final:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

De asemenea, numerele pot fi înmulțite în orice ordine, fără a afecta rezultatul final:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Însă scăderea și divizarea nu sunt operații care pot fi comutative, deoarece ordinea operațiunilor este importantă. Cele trei numere de mai sus nu poti, de exemplu, scade în orice ordine, fără a afecta valoarea finală:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Ca rezultat, proprietatea comutativă poate fi exprimată prin ecuațiile a + b = b + a și a x b = b x a. Indiferent de ordinea valorilor din aceste ecuații, rezultatele vor fi întotdeauna aceleași.

Proprietatea asociativă afirmă că gruparea factorilor dintr-o operație poate fi modificată fără a afecta rezultatul ecuației. Aceasta poate fi exprimată prin ecuația a + (b + c) = (a + b) + c. Indiferent ce pereche de valori în ecuație este adăugată mai întâi, rezultatul va fi același.

De exemplu, luați ecuația 2 + 3 + 5. Indiferent cum sunt grupate valorile, rezultatul ecuației va fi de 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Ca și în cazul proprietății comutative, exemple de operații care sunt asociative includ adăugarea și înmulțirea numerelor reale, a numerelor întregi și a numerelor raționale. Cu toate acestea, spre deosebire de proprietatea comutativă, proprietatea asociativă se poate aplica și înmulțirii matricilor și compoziției funcției.

La fel ca ecuațiile proprietății comutative, ecuațiile proprietății asociative nu pot conține scăderea numerelor reale. Luăm, de exemplu, problema aritmetică (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; dacă schimbăm gruparea parantezelor, avem 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, ceea ce schimbă rezultatul final al ecuației.

Putem spune diferența dintre proprietatea asociativă și cea comutativă punând întrebarea: „Schimbăm ordinea elementele sau schimbăm gruparea elementelor? ” Dacă elementele sunt reordonate, atunci proprietatea comutativă se aplică. Dacă elementele sunt doar regrupate, atunci se aplică proprietatea asociativă.

Cu toate acestea, rețineți că prezența parantezelor singure nu înseamnă neapărat că se aplică proprietatea asociativă. De exemplu:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Această ecuație este un exemplu al proprietății comutative de adăugare a numerelor reale. Dacă acordăm o atenție atentă ecuației, vedem că numai ordinea elementelor a fost schimbată, nu și gruparea. Pentru ca proprietatea asociativă să se aplice, va trebui să rearanjăm și gruparea elementelor:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3