Rezolva ecuații: creștere exponențială

Funcțiile exponențiale spun poveștile schimbărilor explozive. Cele două tipuri de funcții exponențiale sunt crestere exponentiala și degradare exponențială. Patru variabile - procente de schimbare, timp, suma la începutul perioadei de timp și suma la sfârșitul perioadei de timp - joacă roluri în funcții exponențiale. Acest articol se concentrează asupra modului de utilizare a problemelor de cuvinte pentru a găsi suma la începutul perioadei de timp, A.

Creștere exponențială: schimbarea care apare atunci când o sumă inițială este crescută cu o rată consistentă într-o perioadă de timp

Utilizări ale creșterii exponențiale în viața reală:

• Valorile prețurilor la domiciliu
• Valorile investițiilor
• Creșterea apartenenței la un site popular de rețele sociale

Iată o funcție de creștere exponențială:

y = A(1 + b)^X

• y: Suma finală rămasă într-o perioadă de timp
• A: Suma inițială
• X: Timpul
• factor de creștere este (1 + b).
• Variabila, b, este modificare procentuală în forma zecimală.

Dacă citiți acest articol, atunci sunteți probabil ambițioși. După șase ani, poate că vrei să urmezi o diplomă de licență la Dream University. Cu un preț de 120.000 de dolari, Dream University evocă terorismele de noapte financiare. După nopți nedormite, tu, mama și tata se întâlnesc cu un planificator financiar. Ochii de sânge ai părinților tăi se limpezesc atunci când planificatorul dezvăluie o investiție cu o rată de creștere de 8%, care poate ajuta familia ta să atingă ținta de 120.000 de dolari. Studiază din greu. Dacă dumneavoastră și părinții investiți 75.620,36 USD astăzi, atunci Dream University va deveni realitatea voastră.

Această funcție descrie creșterea exponențială a investiției:

120,000 = A(1 +.08)⁶

• 120.000: Suma finală rămasă după 6 ani
• .08: Rata de creștere anuală
• 6: Numărul de ani pentru ca investiția să crească
• a: Suma inițială pe care familia dvs. a investit-o

Aluzie: Mulțumită proprietății simetrice a egalității, 120.000 = A(1 +.08)⁶ este la fel ca A(1 +.08)⁶ = 120,000. (Proprietatea simetrică a egalității: Dacă 10 + 5 = 15, atunci 15 = 10 +5.)

Dacă preferați să rescrieți ecuația cu constanta, 120.000, din dreapta ecuației, atunci faceți acest lucru.

A(1 +.08)⁶ = 120,000

Acordată, ecuația nu arată ca o ecuație liniară (6)A = 120.000 USD), dar este rezolvabil. Lipiți-l!

A(1 +.08)⁶ = 120,000

Atenție: nu rezolvați această ecuație exponențială împărțind 120.000 la 6. Este o matematică tentantă nu-nu.

1. Utilizare Ordinea operațiunilor a simplifica.

A(1 +.08)⁶ = 120,000
A(1.08)⁶ = 120.000 (Paranteză)
A(1.586874323) = 120.000 (exponent)

2. Rezolvați prin împărțire

A(1.586874323) = 120,000
A(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1A = 75,620.35523
A = 75,620.35523

Suma inițială de investit este de aproximativ 75.620,36 USD.

3. Congelați - încă nu ați terminat. Utilizați ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.

120,000 = A(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Paranteze)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exponent)
120.000 = 120.000 (Înmulțire)

Fișă de lucru originală

Fermier și prieteni
Utilizați informațiile despre rețeaua de socializare a fermierului pentru a răspunde la întrebările 1-5.

Un fermier a început un site de rețele de socializare, farmerandfriends.org, care oferă sfaturi de grădinărit în curte. Când farmerandfriends.org a permis membrilor să posteze fotografii și videoclipuri, apartenența site-ului a crescut exponențial. Iată o funcție care descrie acea creștere exponențială.

120,000 = A(1 + .40)⁶

1. Câți oameni aparțin farmerandfriends.org la 6 luni de la activarea fotografierii și a partajării video? 120.000 de persoane
   Comparați această funcție cu funcția inițială de creștere exponențială:
   120,000 = A(1 + .40)⁶
   y = A(1 +b)^X
   Suma inițială, y, este de 120.000 în această funcție despre rețelele de socializare.
2. Această funcție reprezintă o creștere sau o descompunere exponențială? Această funcție reprezintă o creștere exponențială din două motive. Motivul 1: Paragraful cu informații relevă că „apartenența la site-ul web a crescut exponențial”. Motivul 2: Un semn pozitiv este chiar înainte b, modificarea procentuală lunară.
3. Care este creșterea sau scăderea procentuală lunară? Creșterea lunară la sută este de 40%, .40 scrisă la sută.
4. Câți membri au aparținut lui farmerandfriends.org acum 6 luni, chiar înainte de introducerea fotografiilor și partajarea video? Aproximativ 15.937 de membri
   Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
   120,000 = A(1.40)⁶
   120,000 = A(7.529536)
   Împărțiți pentru a rezolva.
   120,000/7.529536 = A(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1A
   15,937.23704 = A
   Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Dacă aceste tendințe continuă, câți membri vor aparține site-ului web la 12 luni de la introducerea fotografierii și a partajării video? Aproximativ 903.544 de membri
   Conectați ceea ce știți despre funcție. Amintiți-vă, de data asta aveți A, suma inițială. Rezolvați pentru y, suma rămasă la sfârșitul unei perioade de timp.
   y = A(1 + .40)^X
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a găsi y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203