Probabilitatea alegerii aleatorii a unui număr prim

Teoria numerelor este o ramură a matematică care se referă la ea însăși la setul de numere întregi. Ne restricționăm oarecum făcând acest lucru, deoarece nu studiem în mod direct alte numere, cum ar fi iraționalele. Cu toate acestea, alte tipuri de numere reale sunt utilizate. În plus, subiectul probabilității are multe conexiuni și intersecții cu teoria numerelor. Una dintre aceste conexiuni are legătură cu distribuția numere prime. Mai exact ne putem întreba, care este probabilitatea ca un număr întreg ales aleator de la 1 la X este un număr prim?

Ca și în cazul oricărei probleme de matematică, este important să înțelegem nu numai ce presupuneri se fac, ci și definițiile tuturor termenilor cheie ai problemei. Pentru această problemă avem în vedere numerele întregi pozitive, adică numerele întregi 1, 2, 3,. .. până la un număr X. Alegem la întâmplare unul dintre aceste numere, ceea ce înseamnă că toate X dintre ele sunt la fel de probabil să fie alese.

Încercăm să determinăm probabilitatea ca un număr prim să fie ales. Astfel, trebuie să înțelegem definiția unui număr prim. Un număr prim este un număr întreg pozitiv care are exact doi factori. Aceasta înseamnă că singurii divizori ai numerelor prime sunt unul și numărul în sine. Deci 2,3 și 5 sunt prime, dar 4, 8 și 12 nu sunt prime. Reținem că, deoarece trebuie să existe doi factori într-un număr prim, numărul 1 este

Soluția la această problemă este simplă pentru un număr redus X. Tot ce trebuie să facem este să număram pur și simplu numărul primelor mai mici sau egale cu X. Împărțim numărul primelor mai mic sau egal cu X după numărul X.

De exemplu, pentru a găsi probabilitatea ca o primă să fie selectată de la 1 la 10, ne impune să împărțim numărul primelor de la 1 la 10 la 10. Numerele 2, 3, 5, 7 sunt prime, astfel încât probabilitatea selectării unei prime este de 4/10 = 40%.

Probabilitatea ca un prim să fie selectat de la 1 la 50 poate fi găsit într-un mod similar. Primele mai mici de 50 sunt: ​​2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 și 47. Există 15 prime mai mici sau egale cu 50. Astfel, probabilitatea că un prim este selectat la întâmplare este 15/50 = 30%.

Acest proces poate fi efectuat prin numărarea simplă a primelor, atât timp cât avem o listă a primelor. De exemplu, există 25 de prime mai mici sau egale cu 100. (Astfel, probabilitatea ca un număr ales aleator de la 1 la 100 să fie prim este 25/100 = 25%.) Cu toate acestea, dacă nu avem o listă dintre primele, ar putea fi descurajant calculativ să determinăm setul de numere prime care sunt mai mici sau egale cu un dat număr X.

Dacă nu aveți un număr din primele mai mici sau egale cu X, atunci există o modalitate alternativă de a rezolva această problemă. Soluția implică un rezultat matematic cunoscut sub numele de teorema numărului prim. Aceasta este o afirmație despre distribuția generală a primelor și poate fi utilizată pentru a aproxima probabilitatea pe care încercăm să o determinăm.

Teorema numerelor prime afirmă că există aproximativ X / ln (X) numere prime mai mici sau egale cu X. Aici sunt (X) denotă logaritmul natural al Xsau, cu alte cuvinte, logaritmul cu o bază de numarul e. Ca valoare a X crește aproximația se îmbunătățește, în sensul că vedem o scădere a erorii relative între numărul primelor mai mic decât X iar expresia X / ln (X).

Putem folosi rezultatul teoremei numerelor prime pentru a rezolva problema pe care încercăm să o abordăm. Știm prin teorema numărului primar că există aproximativ X / ln (X) numere prime mai mici sau egale cu X. În plus, există un total de X numere întregi pozitive mai mici sau egale cu X. Prin urmare, probabilitatea ca un număr selectat la întâmplare să fie prim este (X / ln (X) ) /X = 1 / ln (X).

Acum putem folosi acest rezultat pentru a aproxima probabilitatea selectării aleatorii a unui număr prim din primul miliard numere întregi. Calculăm logaritmul natural al unui miliard și vedem că ln (1.000.000.000) este de aproximativ 20.7 și 1 / ln (1.000.000.000) este de aproximativ 0.0483. Astfel, avem aproximativ 4.83% probabilitate de a alege la întâmplare un număr prim din primele miliarde de numere întregi.