Mai multe teoreme în probabilitate pot fi deduse din axiome de probabilitate. Aceste teoreme pot fi aplicate pentru a calcula probabilitățile pe care poate dorim să le cunoaștem. Un astfel de rezultat este cunoscut sub numele de regula complementului. Această afirmație ne permite să calculăm probabilitatea unei an evenimentA prin cunoașterea probabilității complementului AC. După precizarea regulii complementului, vom vedea cum poate fi dovedit acest rezultat.
Regula de completare
Complementul evenimentului A este notat de AC. Complementul de A este a stabilit a tuturor elementelor din setul universal sau spațiu de probă S, care nu sunt elemente din set A.
Regula complementului este exprimată prin următoarea ecuație:
P (AC) = 1 - P (A)
Aici vedem că probabilitatea unui eveniment și probabilitatea complementului său trebuie să fie de 1.
Dovada regulii de completare
Pentru a dovedi regula complementului, începem cu axiomele probabilității. Aceste declarații sunt asumate fără dovezi. Vom vedea că acestea pot fi utilizate în mod sistematic pentru a demonstra afirmația noastră cu privire la probabilitatea complementului unui eveniment.
- Prima axiomă a probabilității este că probabilitatea oricărui eveniment este una non-negativă numar real.
- Al doilea axiom al probabilității este acela că probabilitatea întregului spațiu de probă S este unul. Simbolic scriem P (S) = 1.
- A treia axiomă de probabilitate afirmă că dacă A și B se exclud reciproc (ceea ce înseamnă că au o intersecție goală), atunci afirmăm probabilitatea unirea acestor evenimente ca P (A U B ) = P (A) + P (B).
Pentru regula complementului, nu va trebui să folosim primul axiom din lista de mai sus.
Pentru a demonstra afirmația noastră avem în vedere evenimentele Ași AC. Din teoria seturilor, știm că aceste două seturi au intersecție goală. Acest lucru se întâmplă deoarece un element nu poate fi simultan în ambele A și nu în A. Deoarece există o intersecție goală, aceste două seturi sunt se exclud reciproc.
Unirea celor două evenimente A și AC sunt de asemenea importante. Acestea constituie evenimente exhaustive, ceea ce înseamnă că uniune dintre aceste evenimente este tot spațiul de probă S.
Aceste fapte, combinate cu axiomele ne oferă ecuația
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
Prima egalitate se datorează celui de-al doilea axiom de probabilitate. A doua egalitate se datorează faptului că evenimentele A și AC sunt exhaustive. A treia egalitate se datorează celui de-al treilea axiom de probabilitate.
Ecuația de mai sus poate fi reorganizată în forma descrisă mai sus. Tot ce trebuie să facem este să scădem probabilitatea A din ambele părți ale ecuației. Prin urmare
1 = P (A) + P (AC)
devine ecuația
P (AC) = 1 - P (A).
Desigur, am putea, de asemenea, să exprimăm regula afirmând că:
P (A) = 1 - P (AC).
Toate aceste trei ecuații sunt moduri echivalente de a spune același lucru. Din această dovadă vedem cum doar două axiome și unele teorii de seturi fac un drum lung pentru a ne ajuta să dovedim noi afirmații cu privire la probabilitate.