Când aveți de-a face teoria seturilor, există o serie de operațiuni pentru a face noi seturi din cele vechi. Una dintre cele mai frecvente operațiuni de seturi se numește intersecție. Mai simplu spus, intersecția a două seturi A și B este ansamblul tuturor elementelor care ambele A și B a avea în comun.
Vom analiza detaliile referitoare la intersecția din teoria seturilor. După cum vom vedea, cuvântul cheie aici este cuvântul „și”.
Un exemplu
Pentru un exemplu despre modul în care se formează intersecția a două seturi a set nou, să luăm în considerare seturile A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Pentru a găsi intersecția dintre aceste două seturi, trebuie să aflăm ce elemente au în comun. Numerele 3, 4, 5 sunt elemente ale ambelor seturi, deci intersecțiile din A și B este {3. 4. 5].
Notare pentru intersecție
Pe lângă înțelegerea conceptelor referitoare la operațiile de teorie a seturilor, este important să se poată citi simboluri utilizate pentru a denota aceste operații. Simbolul pentru intersecție este uneori înlocuit de cuvântul „și” între două seturi. Acest cuvânt sugerează notarea mai compactă pentru o intersecție care este de obicei folosită.
Simbolul utilizat pentru intersecția celor două seturi A și B este dat de A ∩ B. O modalitate de a ne aminti că acest simbol ∩ se referă la intersecție este de a observa asemănarea sa cu un capital A, care este scurt pentru cuvântul „și”.
Pentru a vedea această notare în acțiune, consultați exemplul de mai sus. Aici am avut seturile A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Deci, am scrie ecuația stabilită A ∩ B = {3, 4, 5}.
Intersecția cu setul gol
O identitate de bază care implică intersecția ne arată ce se întâmplă atunci când luăm intersecția oricărui set cu setul gol, notat cu numărul # 8709. Setul gol este setul fără elemente. Dacă nu există elemente în cel puțin unul dintre seturi pe care încercăm să găsim intersecția, atunci cele două seturi nu au elemente comune. Cu alte cuvinte, intersecția oricărui set cu setul gol ne va oferi setul gol.
Această identitate devine și mai compactă cu utilizarea notației noastre. Avem identitatea: A ∩ ∅ = ∅.
Intersecție cu setul universal
Pentru cealaltă extremă, ce se întâmplă când examinăm intersecția unui set cu setul universal? Similar cu modul în care cuvântul univers este folosit în astronomie pentru a însemna totul, setul universal conține fiecare element. Rezultă că fiecare element al mulțimii noastre este, de asemenea, un element al setului universal. Astfel, intersecția oricărui set cu setul universal este setul cu care am început.
Din nou notarea noastră vine la salvare pentru a exprima mai succint această identitate. Pentru orice set A și setul universal U, A ∩ U = A.
Alte identități care implică intersecția
Există multe alte ecuații stabilite care implică utilizarea operațiunii de intersecție. Desigur, este întotdeauna bine practică folosind limbajul teoriei de seturi. Pentru toate seturile A, și B și D noi avem:
- Proprietate reflectorizantă: A ∩ A =A
- Comutativitate: A ∩ B = B ∩ A
- Proprietate asociativă: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
- Proprietate distributivă: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
- Legea I a lui DeMorgan: (A ∩ B)C = AC ∪ BC
- Legea II a lui DeMorgan: (A ∪ B)C = AC ∩ BC