Înțelegerea ecuațiilor echivalente în algebră

Ecuațiile echivalente sunt sisteme de ecuații care au aceleași soluții. Identificarea și rezolvarea ecuațiilor echivalente este o abilitate valoroasă, nu numai în clasa de algebră dar și în viața de zi cu zi. Aruncați o privire la exemple de ecuații echivalente, cum să le rezolvați pentru una sau mai multe variabile și cum puteți utiliza această abilitate în afara unei clase.

Cheie de luat cu cheie

Cele mai simple exemple de ecuații echivalente nu au nicio variabilă. De exemplu, aceste trei ecuații sunt echivalente între ele:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Recunoașterea acestor ecuații este echivalentă este excelent, dar nu este deosebit de util. De obicei, o problemă de ecuație echivalentă vă solicită să rezolvați o variabilă pentru a vedea dacă este aceeași (aceeași

De exemplu, următoarele ecuații sunt echivalente:

• x = 5
• -2x = -10

În ambele cazuri, x = 5. De unde știm asta? Cum rezolvați asta pentru ecuația „-2x = -10”? Primul pas este cunoașterea regulilor ecuațiilor echivalente:

• adăugare sau scăzând același număr sau expresie ambelor părți ale unei ecuații produce o ecuație echivalentă.
• Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații la același număr nenul produce o ecuație echivalentă.
• Ridicând ambele părți ale ecuației la aceeași putere ciudată sau luând aceeași rădăcină ciudată va produce o ecuație echivalentă.
• Dacă ambele părți ale unei ecuații sunt non-negativcreșterea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere uniformă sau luarea aceleiași rădăcini uniforme va da o ecuație echivalentă.

Punând în practică aceste reguli, determinați dacă aceste două ecuații sunt echivalente:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Pentru a rezolva acest lucru, trebuie să găsiți „x” pentru fiecare ecuaţie. Dacă „x” este aceeași pentru ambele ecuații, atunci ele sunt echivalente. Dacă „x” este diferită (adică ecuațiile au rădăcini diferite), atunci ecuațiile nu sunt echivalente. Pentru prima ecuație:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (scăzând ambele părți cu același număr)
• x = 5

Pentru a doua ecuație:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (scăzând ambele părți cu același număr)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (împărțind ambele părți ale ecuației la același număr)
• x = 5

Deci, da, cele două ecuații sunt echivalente deoarece x = 5 în fiecare caz.

Puteți utiliza ecuații echivalente în viața de zi cu zi. Este deosebit de util atunci când faceți cumpărăturile. De exemplu, îți place o cămașă anume. O companie oferă cămașa pentru 6 dolari și are 12 USD transport, în timp ce o altă companie oferă cămașa pentru 7,50 dolari și are 9 USD. Ce cămașă are cel mai bun preț? Câte tricouri (poate doriți să le obțineți pentru prieteni) ar trebui să cumpărați pentru ca prețul să fie același pentru ambele companii?

Pentru a rezolva această problemă, „x” este numărul de cămăși. Pentru început, setați x = 1 pentru achiziționarea unei cămăși. Pentru compania nr. 1:

• Preț = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 $

Pentru compania nr. 2:

• Preț = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 USD

Deci, dacă cumpărați un tricou, a doua companie oferă o ofertă mai bună.

Pentru a găsi punctul în care prețurile sunt egale, lăsați „x” să rămână numărul de cămăși, dar setați cele două ecuații egale între ele. Rezolvați „x” pentru a afla câte tricouri ar trebui să cumpărați:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (scăzând aceleași numere sau expresii din fiecare parte)
• -1,5x = -3
• 1.5x = 3 (împărțind ambele părți la același număr, -1)
• x = 3 / 1.5 (împărțirea ambelor părți cu 1,5)
• x = 2

Dacă cumpărați două cămăși, prețul este același, indiferent de unde îl primiți. Puteți utiliza aceeași matematică pentru a determina ce companie vă oferă o afacere mai bună cu comenzi mai mari și, de asemenea, pentru a calcula cât de mult veți economisi folosind o companie peste cealaltă. Vezi, algebra este utilă!

Dacă aveți două ecuații și două necunoscute (x și y), puteți determina dacă două seturi de ecuații liniare sunt echivalente.

De exemplu, dacă vi se oferă ecuațiile:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Puteți stabili dacă următorul sistem este echivalent:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

La rezolvați această problemă, găsiți „x” și „y” pentru fiecare sistem de ecuații. Dacă valorile sunt aceleași, atunci sistemele de ecuații sunt echivalente.

Începeți cu primul set. Pentru a rezolva două ecuaţiile cu doi variabile, izolați o variabilă și conectați soluția la cealaltă ecuație. Pentru a izola variabila "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (conectați pentru "x" în a doua ecuație)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Acum, conectați „y” înapoi în oricare ecuație pentru a rezolva „x”:

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Lucrând prin asta, veți obține în cele din urmă x = 7/3.

Pentru a răspunde la întrebare, dumneavoastră ar putea aplicați aceleași principii la al doilea set de ecuații de rezolvat pentru „x” și „y” pentru a afla că da, ele sunt într-adevăr echivalente. Este ușor să te încurci în algebră, așa că este o idee bună să îți verifici munca folosind un soluționare ecuație online.

Cu toate acestea, studentul deștept va observa că cele două seturi de ecuații sunt echivalente fără a face deloc calcule dificile. Singura diferență între prima ecuație din fiecare set este că prima este de trei ori cea de-a doua (echivalentă). A doua ecuație este exact aceeași.