Distribuții binomiale sunt o clasă importantă de discrete distribuții de probabilitate. Aceste tipuri de distribuții sunt o serie de n procese independente Bernoulli, fiecare dintre ele având o probabilitate constantă p de succes. Ca în orice distribuție de probabilitate, am dori să știm care este media sau centrul său. Pentru aceasta, întrebăm cu adevărat: „Care este valorea estimata a distribuției binomiale? ”
Intuitia vs. dovadă
Dacă ne gândim cu atenție la a distribuție binomială, nu este dificil să se stabilească dacă așteptatul valoarea acestui tip de distribuție a probabilităților este np. Pentru câteva exemple rapide, luați în considerare următoarele:
- Dacă aruncăm 100 de monede și X este numărul de capete, valoarea așteptată de X este 50 = (1/2) 100.
- Dacă luăm un test de alegere multiplă cu 20 de întrebări și fiecare întrebare are patru opțiuni (doar una dintre ele ceea ce este corect), atunci ghicirea la întâmplare ar însemna că ne-am aștepta doar să primim (1/4) 20 = 5 întrebări corect.
În ambele exemple, vedem că E [X] = n p. Două cazuri este suficient pentru a ajunge la o concluzie. Deși intuiția este un instrument bun pentru a ne ghida, nu este suficient să formăm un argument matematic și să dovedim că ceva este adevărat. Cum dovedim definitiv că valoarea așteptată a acestei distribuții este într-adevăr np?
Din definiția valorii așteptate și a funcției de masă de probabilitate pentru distribuție binomială de n încercări de probabilitate de succes p, putem demonstra că intuiția noastră se potrivește cu roadele rigorii matematice. Trebuie să fim oarecum atenți în munca noastră și să fim aglomerați în manipulările noastre ale coeficientului de binom care este dat de formula de combinații.
Începem folosind formula:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) pX(1-p)n - x.
Deoarece fiecare termen al însumării este înmulțit cu X, valoarea termenului corespunzător x = 0 va fi 0, și astfel putem scrie de fapt:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) p X (1 - p) n - x .
Prin manipularea factorilor implicați în expresia pentru C (n, x) putem rescrie
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Acest lucru este adevărat, deoarece:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Rezultă că:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) p X (1 - p) n - x .
Facem factorul n și unul p din expresia de mai sus:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
O schimbare de variabile r = x - 1 ne ofera:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Prin formula binomială, (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r rezumarea de mai sus poate fi rescrisă:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
Argumentul de mai sus ne-a parcurs un drum lung. De la început doar cu definiția valorii preconizate și a funcției de masă de probabilitate pentru o distribuție binomială, am demonstrat ceea ce ne-a spus intuiția noastră. Valoarea preconizată a distribuție binomialăB (n, p) este n p.