Probabilitatea de a rula o casă completă în Yahtzee?

Jocul lui Yahtzee implică utilizarea a cinci zaruri standard. La fiecare tură, jucătorilor li se acordă trei role. După fiecare rola, orice număr de zaruri poate fi păstrat, cu scopul de a obține combinații speciale ale acestor zaruri. Fiecare combinație diferită valorează o cantitate diferită de puncte.

Unul dintre aceste tipuri de combinații se numește casă completă. Ca o casă plină în jocul de poker, această combinație include trei dintr-un anumit număr, împreună cu o pereche de un număr diferit. Deoarece Yahtzee implică rularea aleatorie a zarurilor, acest joc poate fi analizat utilizând probabilitatea de a determina cât de probabil este să rolați o casă completă într-o singură rolă.

Vom începe prin a ne declara presupunerile. Presupunem că zarurile folosite sunt corecte și independente unele de altele. Aceasta înseamnă că avem un spațiu de probă uniform format din toate rulourile posibile ale celor cinci zaruri. Deși jocul lui Yahtzee permite trei role, vom lua în considerare doar cazul în care obținem o casă completă într-o singură rolă.

Întrucât lucrăm cu un uniformăspațiu de probă, calculul probabilității noastre devine un calcul al câtorva probleme de numărare. Probabilitatea unei case pline este numărul de modalități de rulare a unei case complete, împărțită la numărul de rezultate în spațiul de probă.

Numărul rezultatelor din spațiul eșantionului este simplu. Deoarece există cinci zaruri și fiecare dintre aceste zaruri poate avea unul dintre cele șase rezultate diferite, numărul rezultatelor în spațiul eșantionului este de 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

În continuare, calculăm numărul de moduri de a rula o casă completă. Aceasta este o problemă mai dificilă. Pentru a avea o casă completă, avem nevoie de trei dintr-un fel de zaruri, urmate de o pereche de zaruri diferite. Vom împărți această problemă în două părți:

• Care este numărul diferitelor tipuri de case pline care ar putea fi rulate?
• Care este numărul de modalități prin care un anumit tip de casă completă ar putea fi rulat?

Odată ce cunoaștem numărul pentru fiecare dintre acestea, le putem multiplica împreună pentru a ne oferi numărul total de case pline care pot fi rulate.

Începem prin a privi numărul diferitelor tipuri de case pline care pot fi rulate. Oricare dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 pot fi utilizate pentru cele trei tipuri. Există cinci numere rămase pentru pereche. Astfel, există 6 x 5 = 30 tipuri diferite de combinații întregi care pot fi rulate.

De exemplu, am putea avea 5, 5, 5, 2, 2 ca un tip de casă completă. Un alt tip de casă completă ar fi 4, 4, 4, 1, 1. Un altul ar fi 1, 1, 4, 4, 4, care este diferit de casa plină precedentă, deoarece rolurile celor patru și ale celor au fost comutate.

Acum determinăm numărul diferit de moduri de a rula o anumită casă completă. De exemplu, fiecare dintre următoarele ne oferă aceeași casă completă de trei patru și două:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vedem că există cel puțin cinci moduri de a rula o anumită casă completă. Există alții? Chiar dacă continuăm să enumerăm alte posibilități, de unde știm că le-am găsit pe toate?

Cheia pentru a răspunde la aceste întrebări este să ne dăm seama că avem de-a face cu o problemă de numărare și de a determina cu ce tip de problemă de numărare lucrăm. Există cinci poziții, iar trei dintre acestea trebuie completate cu un patru. Ordinea în care ne așezăm patru nu contează atâta timp cât sunt ocupate pozițiile exacte. Odată ce poziția celor patru a fost determinată, plasarea celor este automată. Din aceste motive, trebuie să luăm în considerare combinaţie din cinci poziții luate câte trei.

Folosim formula combinată pentru a obține C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Aceasta înseamnă că există 10 moduri diferite de a rula o casă completă dată.

Împreună toate acestea, avem numărul nostru de case pline. Există 10 x 30 = 300 moduri de a obține o casă completă într-un singur rola.

Acum probabilitatea unei case pline este un simplu calcul al diviziunii. Întrucât există 300 de moduri de a rula o casă completă într-o singură listă și sunt posibile 7776 de cinci zaruri, probabilitatea de a rula o casă completă este 300/7776, care este aproape de 1/26 și 3,85%. Acest lucru este de 50 de ori mai probabil decât rostogolirea unui Yahtzee într-o singură role.

Desigur, este foarte probabil ca primul rulou să nu fie o casă plină. Dacă acesta este cazul, atunci ni se permit alte două rulouri, făcând o casă plină mult mai probabilă. Probabilitatea acestui lucru este mult mai complicată de determinat din cauza tuturor situațiilor posibile care ar trebui luate în considerare.