Care sunt legile lui De Morgan?

Statistica matematică necesită uneori utilizarea teoriei de seturi. Legile lui De Morgan sunt două enunțuri care descriu interacțiunile dintre diverse operații ale teoriei de seturi. Legile sunt acelea pentru orice două seturi A și B:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C.
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C.

După ce vom explica ce înseamnă fiecare dintre aceste afirmații, vom analiza un exemplu de utilizare a fiecăreia dintre acestea.

Pentru a înțelege ce spun Legile lui De Morgan, trebuie să reamintim câteva definiții ale operațiilor de teorie a seturilor. Mai exact, trebuie să știm despre uniune și intersecție din două seturi și complementul unui set.

Legile lui De Morgan se referă la interacțiunea dintre uniune, intersecție și complement. Reamintim că:

• Intersecția seturilor A și B constă din toate elementele comune ambelor A și B. Intersecția este notată de A ∩ B.
• Unirea seturilor A și B constă din toate elementele care în oricare A sau B, inclusiv elementele din ambele seturi. Intersecția este notată de A U B.
instagram viewer
• Complementul setului A constă din toate elementele care nu sunt elemente ale A. Acest complement este notat cu A^C.

După ce am reamintit aceste operațiuni elementare, vom vedea declarația Legilor lui De Morgan. Pentru fiecare pereche de seturi A și B noi avem:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C

Aceste două afirmații pot fi ilustrate prin utilizarea diagramelor Venn. După cum se vede mai jos, putem demonstra folosind un exemplu. Pentru a demonstra că aceste afirmații sunt adevărate, trebuie dovedi-le prin utilizarea definițiilor operațiilor teoriei de set.

De exemplu, ia în considerare setul de numere reale de la 0 la 5. Scriem acest lucru în notația de interval [0, 5]. În cadrul acestui set avem A = [1, 3] și B = [2, 4]. În plus, după aplicarea operațiunilor noastre elementare, avem:

• Complementul A^C = [0, 1) U (3, 5]
• Complementul B^C = [0, 2) U (4, 5]
• Uniunea A U B = [1, 4]
• Intersecția A ∩ B = [2, 3]

Începem prin calcularea unirii A^C U B^C. Vedem că unirea lui [0, 1) U (3, 5] cu [0, 2) U (4, 5] este [0, 2) U (3, 5]. Intersecția A ∩ B este [2, 3]. Vedem că complementul acestui set [2, 3] este și [0, 2) U (3, 5]. În acest fel am demonstrat că A^C U B^C = (A ∩ B)^C.

Acum vedem intersecția dintre [0, 1) U (3, 5] cu [0, 2) U (4, 5] este [0, 1) U (4, 5]. De asemenea, vedem că complementul lui [1, 4] este și [0, 1) U (4, 5]. În acest fel am demonstrat că A^C ∩ B^C = (A U B)^C.

De-a lungul istoriei logicii, oameni cum ar fi Aristotel și William of Ockham au făcut declarații echivalente cu Legile lui De Morgan.

Legile lui De Morgan poartă numele lui Augustus De Morgan, care a trăit între 1806-1871. Deși nu a descoperit aceste legi, a fost primul care a introdus aceste afirmații în mod formal folosind o formulare matematică în logica propozițională.