Probabilități și zaruri mincinoase

Multe jocuri de noroc pot fi analizate folosind matematica probabilității. În acest articol, vom examina diverse aspecte ale jocului numit Liar’s Dice. După descrierea acestui joc, vom calcula probabilitățile legate de acesta.

Jocul lui Liar’s Dice este de fapt o familie de jocuri care implică bluffing și înșelăciune. Există o serie de variante ale acestui joc, iar acesta trece prin mai multe nume diferite, cum ar fi Dice, înșelăciune și Dudo. O versiune a acestui joc a fost prezentată în filmul Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

În versiunea jocului pe care îl vom examina, fiecare jucător are o cană și un set cu același număr de zaruri. Zarurile sunt zaruri standard, cu șase fețe, numerotate de la unu la șase. Toți își rostogolesc zarurile, ținându-le acoperite de cupă. La momentul potrivit, un jucător privește setul său de zaruri, păstrându-le ascunse de toți ceilalți. Jocul este conceput astfel încât fiecare jucător să cunoască perfect setul său de zaruri, dar nu are cunoștințe despre celelalte zaruri care au fost rulate.

După ce toată lumea a avut ocazia să se uite la zarurile care au fost rostogolite, începe licitația. La fiecare tura, un jucător are două opțiuni: face o ofertă mai mare sau numeste oferta anterioară o minciună. Ofertele pot fi majorate prin licitarea unei valori mai mari a zarului de la unu la șase sau prin licitarea unui număr mai mare de aceeași valoare a zarului.

De exemplu, s-ar putea crește o ofertă de „Three twos”, precizând „Four twos”. Ar putea fi, de asemenea, crescut spunând „Trei trei”. În general, nici numărul zarurilor, nici valorile zarurilor nu pot scădea.

Deoarece majoritatea zarurilor sunt ascunse din vedere, este important să știți cum să calculați unele probabilități. Cunoscând acest lucru, este mai ușor să vezi ce oferte sunt susceptibile de a fi adevărate și ce sunt probabil să fie minciuni.

Prima considerație este să ne întrebăm: „Câte zaruri de același fel ne-am aștepta?” De exemplu, dacă aruncă cinci zaruri, câte dintre acestea ne-am aștepta să fie două? Răspunsul la această întrebare folosește ideea de valorea estimata.

Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este probabilitatea unei anumite valori, înmulțită cu această valoare.

Probabilitatea ca prima matriță să fie doi este 1/6. Deoarece zarurile sunt independente una de cealaltă, probabilitatea ca oricare dintre ele să fie două este 1/6. Acest lucru înseamnă că numărul preconizat de două role rulate este 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Desigur, nu există nimic special în ceea ce privește rezultatul a două. Nici nu există nimic special în ceea ce privește numărul de zaruri pe care le-am luat în considerare. Dacă ne-am rostogolit n zaruri, atunci numărul estimat al oricăreia dintre cele șase rezultate posibile este n/6. Acest număr este bine de știut, deoarece ne oferă o bază de referință pe care să o utilizăm atunci când punem la îndoială ofertele făcute de alții.

De exemplu, dacă jucăm zarurile mincinosului cu șase zaruri, valoarea așteptată a oricăreia dintre valorile 1 până la 6 este 6/6 = 1. Aceasta înseamnă că ar trebui să fim sceptici dacă cineva licită mai mult de o valoare. Pe termen lung, vom avea una dintre fiecare dintre valorile posibile.

Să presupunem că aruncăm cinci zaruri și dorim să găsim probabilitatea de a rula două fire. Probabilitatea ca o moarte să fie de trei este 1/6. Probabilitatea ca moartea să nu fie de trei este de 5/6. Rulourile acestor zaruri sunt evenimente independente, astfel încât înmulțim probabilitățile împreună folosind regula de multiplicare.

Probabilitatea ca primele două zaruri să fie threes și celelalte zaruri să nu fie threes este dată de următorul produs:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Primele două zaruri fiind trei sunt doar o posibilitate. Zarurile care sunt threes ar putea fi oricare două din cele cinci zaruri pe care le rostogolim. Denumim o moarte care nu este un trei cu un *. Următoarele moduri posibile de a avea două fire din cinci role:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vedem că există zece moduri de a rostogoli exact două fire din cinci zaruri.

Înmulțim acum probabilitatea noastră de mai sus cu cele 10 modalități prin care putem avea această configurație a zarurilor. Rezultatul este 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Aceasta este de aproximativ 16%.

Acum generalizăm exemplul de mai sus. Considerăm probabilitatea de rulare n zar și obținerea exactă k care au o anumită valoare.

La fel ca și înainte, probabilitatea de a rula numărul pe care îl dorim este 1/6. Probabilitatea de a nu rula acest număr este dată de regula complementului ca 5/6. Noi vrem k din zarurile noastre să fie numărul selectat. Aceasta înseamnă că n - k sunt alte cuvinte decât cele pe care le dorim. Probabilitatea primului k zarurile fiind un anumit număr cu celelalte zaruri, nu acest număr este:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Ar fi anevoios, ca să nu mai vorbim de timp, să listăm toate modalitățile posibile de a rula o anumită configurație de zaruri. De aceea este mai bine să ne folosim de principiile noastre de numărare. Prin aceste strategii, vedem că socotim combinaţii.

Există C (n, k) moduri de a se rostogoli k dintr-un anumit fel de zaruri din n zaruri. Acest număr este dat de formulă n!/(k!(n - k)!)

Punând totul împreună, vedem asta când rulăm n zaruri, probabilitatea ca exact k dintre ele sunt un număr particular este dat de formula:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Există un alt mod de a lua în considerare acest tip de problemă. Aceasta implică distribuție binomială cu probabilitatea succesului dat de p = 1/6. Formula exactă k dintre aceste zaruri fiind un anumit număr este cunoscută sub denumirea de funcția de probabilitate pentru binom distribuire.

O altă situație pe care ar trebui să o luăm în considerare este probabilitatea de a rula cel puțin un anumit număr de o anumită valoare. De exemplu, atunci când rulăm cinci zaruri, care este probabilitatea de a rula cel puțin trei? Am putea să rulăm trei, patru sau cinci. Pentru a determina probabilitatea pe care dorim să o găsim, adăugăm împreună trei probabilități.

Mai jos avem un tabel cu probabilitățile de obținere exactă k de o anumită valoare când rulăm cinci zaruri.

În continuare, avem în vedere următorul tabel. Dă probabilitatea de a rula cel puțin un anumit număr de valoare atunci când rulăm un total de cinci zaruri. Vedem că, deși este foarte probabil să rulăm cel puțin un 2, nu este la fel de probabil să rulăm cel puțin patru 2.