Cinematică bidimensională: mișcare într-un plan

Acest articol prezintă conceptele fundamentale necesare pentru a analiza mișcarea obiectelor în două dimensiuni, fără a ține cont de forțele care provoacă accelerația implicată. Un exemplu de acest tip de problemă ar fi aruncarea unei mingi sau împușcarea unei bile de tun. Își asumă o familiaritate cu cinematică unidimensională, deoarece extinde aceleași concepte într-un spațiu vectorial bidimensional.

Cinematica implică deplasarea, viteza și accelerația care sunt toate cantități vectoriale care necesită amploare și direcție. Prin urmare, pentru a începe o problemă în cinematică bidimensională, trebuie să definiți mai întâi sistem de coordonate folosesti. În general, va fi în termeni de X-axis și a y-axis, orientat astfel încât mișcarea să fie în direcția pozitivă, deși pot exista anumite circumstanțe în care aceasta nu este cea mai bună metodă.

În cazurile în care este considerată gravitația, este obișnuit să se facă direcția gravitației în negativ -y direcţie. Aceasta este o convenție care simplifică, în general, problema, deși ar fi posibil să efectuați calculele cu o altă orientare dacă doriți cu adevărat.

Vectorul de poziție r este un vector care merge de la originea sistemului de coordonate la un punct dat în sistem. Modificarea poziției (Δr, pronunțat „Delta r") este diferența dintre punctul de pornire (r₁) la punct (r₂). Definim viteza medie (v_av) la fel de:

v_av = (r₂ - r₁) / (T₂ - T₁) = Δr/ΔT

Luând limita ca ΔT abordări 0, realizăm viteza instantaneev. În termeni de calcul, acesta este derivat al r cu privire la T, sau dr/dt.

Pe măsură ce diferența de timp se reduce, punctele de început și de sfârșit se apropie între ele. De când direcția de r este aceeași direcție ca și v, devine clar că vectorul vitezei instantanee în fiecare punct de-a lungul căii este tangent cu calea.

Trăsătura utilă a cantităților vectoriale este aceea că acestea pot fi împărțite în vectorii lor componenți. Derivatul unui vector este suma derivatelor sale componente, prin urmare:

v_X = dx/dt
v_y = dy/dt

Mărimea vectorului vitezei este dată de teorema pitagoreică sub forma:

|v| = v = sqrt (v_X² + v_y²)

Direcția de v este orientat alfa se ridică în sens invers acelor de ceasornic de la X-component și poate fi calculat din următoarea ecuație:

bronza alfa = v_y / v_X

Accelerare este schimbarea vitezei într-o anumită perioadă de timp. Similar analizei de mai sus, descoperim că este Δv/ΔT. Limita acestui lucru ca ΔT abordări 0 produce derivata din v cu privire la T.

În ceea ce privește componentele, vectorul de accelerație poate fi scris ca:

A_X = DV_X/dt
A_y = DV_y/dt

sau

A_X = d²X/dt²
A_y = d²y/dt²

Mărimea și unghiul (notat ca beta a deosebi de alfa) ale vectorului de accelerație netă sunt calculate cu componente într-o manieră similară cu cele pentru viteză.

Frecvent, cinematica bidimensională implică ruperea vectorilor relevanți în X- și y-componente, analizând apoi fiecare componentă ca și cum ar fi cazuri unidimensionale. După ce această analiză este completă, componentele vitezei și / sau accelerației sunt apoi combinate din nou pentru a obține vectorii de viteză și / sau accelerație bidimensionale rezultați.

Ecuațiile de mai sus pot fi extinse pentru mișcare în trei dimensiuni prin adăugarea a z-componenta analizei. Acest lucru este, în general, destul de intuitiv, deși trebuie să aveți grijă să vă asigurați că acest lucru este realizat în formatul adecvat, în special în ceea ce privește calcularea unghiului de orientare al vectorului.

Editat de Anne Marie Helmenstine, Ph. D.