Există multe măsurători de răspândire sau dispersie în statistici. desi gamă și deviație standard sunt utilizate cel mai frecvent, există și alte modalități de cuantificare a dispersiei. Vom analiza cum să calculăm abaterea absolută medie pentru un set de date.
Definiție
Începem cu definiția deviației absolute medii, care se mai numește și abaterea absolută medie. Formula afișată cu acest articol este definiția formală a abaterii absolute medii. Poate avea mai mult sens să considerăm această formulă ca un proces sau o serie de pași pe care îi putem folosi pentru a obține statistica noastră.
- Începem cu un media sau măsurarea centrului, a unui set de date, pe care îl vom denota m.
- În continuare, vom afla cât de multe deviază de la valorile datelor m. Aceasta înseamnă că luăm diferența între fiecare dintre valorile datelor și m.
- După aceasta, luăm valoare absolută din fiecare dintre diferențele față de pasul anterior. Cu alte cuvinte, aruncăm semne negative pentru oricare dintre diferențe. Motivul pentru a face acest lucru este că există abateri pozitive și negative de la m. Dacă nu ne dăm seama de o modalitate de a elimina semnele negative, toate abaterile se vor anula reciproc dacă le vom adăuga împreună.
- Acum adăugăm toate aceste valori absolute.
- În sfârșit, împărțim această sumă cu n, care este numărul total de valori ale datelor. Rezultatul este abaterea absolută medie.
Variații
Există mai multe variante pentru procesul de mai sus. Rețineți că nu am specificat exact ce m este. Motivul pentru aceasta este că am putea folosi o varietate de statistici pentru m. În mod obișnuit, acesta este centrul setului nostru de date și, prin urmare, pot fi utilizate oricare dintre măsurătorile tendinței centrale.
Cele mai frecvente măsurători statistice ale centrului unui set de date sunt media, median și modul. Astfel, oricare dintre acestea ar putea fi utilizate ca și m în calculul deviației absolute medii. Acesta este motivul pentru care este obișnuit să ne referim la abaterea absolută medie față de medie sau abaterea absolută medie față de mediană. Vom vedea mai multe exemple în acest sens.
Exemplu: abatere absolută medie despre medie
Să presupunem că începem cu următorul set de date:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Media acestui set de date este 5. Următorul tabel ne va organiza munca în calculul deviației absolute medii față de medie.
| Valoarea datelor | Abaterea de la medie | Valoarea absolută a abaterii |
| 1 | 1 - 5 = -4 | |-4| = 4 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | |-3| = 3 |
| 2 | 2 - 5 = -3 | |-3| = 3 |
| 3 | 3 - 5 = -2 | |-2| = 2 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | |0| = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 9 | 9 - 5 = 4 | |4| = 4 |
| Total abateri absolute: | 24 |
Împărțim acum această sumă la 10, deoarece există un total de zece valori de date. Media abaterii absolute față de medie este 24/10 = 2.4.
Exemplu: abatere absolută medie despre medie
Acum începem cu un set de date diferit:
1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 10.
La fel ca setul de date anterior, media acestui set de date este 5.
| Valoarea datelor | Abaterea de la medie | Valoarea absolută a abaterii |
| 1 | 1 - 5 = -4 | |-4| = 4 |
| 1 | 1 - 5 = -4 | |-4| = 4 |
| 4 | 4 - 5 = -1 | |-1| = 1 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | |0| = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | |0| = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | |0| = 0 |
| 5 | 5 - 5 = 0 | |0| = 0 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 7 | 7 - 5 = 2 | |2| = 2 |
| 10 | 10 - 5 = 5 | |5| = 5 |
| Total abateri absolute: | 18 |
Astfel, deviația absolută medie față de medie este 18/10 = 1.8. Comparatăm acest rezultat cu primul exemplu. Deși media era identică pentru fiecare dintre aceste exemple, datele din primul exemplu au fost mai răspândite. Vedem din aceste două exemple că abaterea absolută medie de la primul exemplu este mai mare decât abaterea absolută medie de la al doilea exemplu. Cu cât este mai mare abaterea absolută medie, cu atât este mai mare dispersia datelor noastre.
Exemplu: abatere absolută medie despre mediană
Începeți cu același set de date ca și primul exemplu:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
Mediana setului de date este 6. În tabelul următor, prezentăm detaliile calculului deviației absolute medii față de mediană.
| Valoarea datelor | Abaterea de la mediană | Valoarea absolută a abaterii |
| 1 | 1 - 6 = -5 | |-5| = 5 |
| 2 | 2 - 6 = -4 | |-4| = 4 |
| 2 | 2 - 6 = -4 | |-4| = 4 |
| 3 | 3 - 6 = -3 | |-3| = 3 |
| 5 | 5 - 6 = -1 | |-1| = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | |1| = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | |1| = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | |1| = 1 |
| 7 | 7 - 6 = 1 | |1| = 1 |
| 9 | 9 - 6 = 3 | |3| = 3 |
| Total abateri absolute: | 24 |
Din nou împărțim totalul cu 10 și obținem o abatere medie medie față de mediană ca 24/10 = 2.4.
Exemplu: abatere absolută medie despre mediană
Începeți cu același set de date ca înainte:
1, 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 7, 9.
De această dată găsim modul acestui set de date ca fiind 7. În tabelul următor, afișăm detaliile calculului deviației absolute medii față de modul.
| Date | Abaterea de la modul | Valoarea absolută a abaterii |
| 1 | 1 - 7 = -6 | |-5| = 6 |
| 2 | 2 - 7 = -5 | |-5| = 5 |
| 2 | 2 - 7 = -5 | |-5| = 5 |
| 3 | 3 - 7 = -4 | |-4| = 4 |
| 5 | 5 - 7 = -2 | |-2| = 2 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | |0| = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | |0| = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | |0| = 0 |
| 7 | 7 - 7 = 0 | |0| = 0 |
| 9 | 9 - 7 = 2 | |2| = 2 |
| Total abateri absolute: | 22 |
Împărțim suma abaterilor absolute și vedem că avem o abatere absolută medie cu privire la modul 22/10 = 2.2.
Fapte rapide
Există câteva proprietăți de bază privind abaterile absolute medii
- Abaterea absolută medie față de mediană este întotdeauna mai mică sau egală cu abaterea absolută medie față de medie.
- Abaterea standard este mai mare sau egală cu media deviației absolute față de medie.
- Abaterea absolută medie este uneori prescurtată de MAD. Din păcate, acest lucru poate fi ambiguu, deoarece MAD se poate referi alternativ la abaterea absolută mediană.
- Abaterea absolută medie pentru o distribuție normală este de aproximativ 0,8 ori mai mare decât dimensiunea abaterii standard.
Utilizări comune
Abaterea absolută medie are câteva aplicații. Prima aplicație este aceea că această statistică poate fi folosită pentru a învăța unele dintre ideile din spatele deviație standard. Media abaterii absolute față de medie este mult mai ușor de calculat decât abaterea standard. Nu necesită să pătrundem abaterile și nu este necesar să găsim o rădăcină pătrată la sfârșitul calculului nostru. În plus, abaterea absolută medie este conectată mai intuitiv la răspândirea setului de date decât la abaterea standard. Acesta este motivul pentru care deviația absolută medie este uneori predată mai întâi, înainte de a introduce abaterea standard.
Unii au ajuns până să susțină că abaterea standard ar trebui să fie înlocuită de abaterea absolută medie. Deși abaterea standard este importantă pentru aplicațiile științifice și matematice, nu este la fel de intuitivă ca abaterea absolută medie. Pentru aplicațiile de zi cu zi, abaterea absolută medie este un mod mai tangibil de a măsura modul în care datele răspândite sunt.