Un factorial zero este o expresie matematică pentru numărul de modalități de a aranja un set de date fără valori în el, care este egal cu una. În general, factorial a unui număr este o modalitate scurtă de a scrie o expresie de multiplicare în care numărul este înmulțit cu fiecare număr mai mic decât acesta, dar mai mare decât zero. 4! = 24, de exemplu, este aceeași cu scrierea 4 x 3 x 2 x 1 = 24, dar se folosește un semn de exclamare din dreapta numărului factorial (patru) pentru a exprima aceeași ecuație.
Din aceste exemple este destul de clar cum să calculăm factorialul unui număr întreg mai mare decât sau egală cu una, dar de ce este valoarea factorială zero, în ciuda regulii matematice potrivit căreia orice este înmulțit cu zero este egal cu zero?
Definiția factorială afirmă că 0! = 1. În mod obișnuit, acest lucru confuză oamenii pentru prima dată când văd această ecuație, dar vom vedea în cele de mai jos exemple de ce acest lucru are sens atunci când te uiți la definiția, permutările și formulele pentru zero factorial.
Definiția unui factor zero
Primul motiv pentru care factorialul zero este egal cu unul este acela că definiția spune că ar trebui să fie, care este o explicație corectă din punct de vedere matematic (dacă este oarecum nesatisfăcător). Cu toate acestea, trebuie să ne amintim că definiția unui factorial este produsul tuturor numărurilor întregi egale sau mai mici ca valoare număr original - cu alte cuvinte, un factorial este numărul de combinații posibile cu numere mai mici sau egale cu acesta număr.
Deoarece zero nu are numere mai mici decât acesta, dar este încă într-un singur număr, nu există decât o posibilă combinație a modului în care setul de date poate fi aranjat: nu poate. Acest lucru contează în continuare ca o modalitate de aranjare, deci prin definiție, un factor factor zero este egal cu unul, la fel ca 1! este egal cu unul, deoarece există o singură aranjare posibilă a acestui set de date.
Pentru o mai bună înțelegere a modului în care acest lucru are sens matematic, este important să rețineți că factori ca aceștia sunt folosiți pentru a determina posibile ordine de informații într-o secvență, cunoscută și sub numele de permutații, care poate fi utilă în înțelegerea faptului că, deși nu există valori într-un set gol sau zero, există totuși un mod în care setul este amenajat.
Permutații și factoriale
A permutare este o ordine specifică, unică a elementelor dintr-un set. De exemplu, există șase permutări ale setului {1, 2, 3}, care conține trei elemente, deoarece putem scrie aceste elemente în următoarele șase moduri:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Am putea afirma și acest fapt prin ecuația 3! = 6, care este o reprezentare factorială a setului complet de permutări. În mod similar, sunt 4! = 24 permutări ale unui set cu patru elemente și 5! = 120 permutări ale unui set cu cinci elemente. Deci, o modalitate alternativă de a gândi factorial este să lăsați n fi un număr natural și spune asta n! este numărul de permutări pentru un set cu n elemente.
Cu acest mod de a gândi factorial, haideți să vedem câteva exemple. Un set cu două elemente are două permutări: {a, b} pot fi aranjate ca a, b sau ca b, a. Aceasta corespunde la 2! = 2. Un set cu un singur element are o singură permutare, deoarece elementul 1 din setul {1} poate fi comandat doar într-un singur mod.
Acest lucru ne aduce la factorial zero. Setul cu zero elemente se numește set gol. Pentru a găsi valoarea factorială zero, ne întrebăm: „În câte moduri putem comanda un set fără elemente?” Aici trebuie să ne întindem puțin gândirea. Chiar dacă nu este nimic de pus în ordine, există o modalitate de a face acest lucru. Astfel avem 0! = 1.
Formule și alte validări
Un alt motiv pentru definirea lui 0! = 1 are legătură cu formulele pe care le folosim pentru permutări și combinații. Acest lucru nu explică de ce zero factorial este unul, dar arată de ce setarea 0! = 1 este o idee bună.
O combinație este o grupare de elemente dintr-un set fără a ține cont de ordine. De exemplu, considerăm setul {1, 2, 3}, în care există o combinație formată din toate cele trei elemente. Oricât de aranjăm aceste elemente, terminăm cu aceeași combinație.
Folosim formula combinațiilor cu combinația a trei elemente luate câte trei și vedeți că 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), Și dacă tratăm 0! ca o cantitate necunoscută și rezolvăm algebric, vedem că 3! 0! = 3! si deci 0! = 1.
Există și alte motive pentru care definiția lui 0! = 1 este corect, dar motivele de mai sus sunt cele mai simple. Ideea de ansamblu în matematică este că atunci când se construiesc idei și definiții noi, ele rămân în concordanță cu alte matematici, iar acest lucru este exact ceea ce vedem în definiția factorialului zero egală cu una.