Calcule cu funcția Gamma

funcția gamma este definit prin următoarea formulă cu aspect complicat:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}T^z-1dt

O întrebare pe care oamenii o au atunci când întâmpină această ecuație confuză este: „Cum folosiți această formulă pentru a calcula valorile funcție gamma? ” Aceasta este o întrebare importantă, deoarece este dificil de știut ce înseamnă chiar această funcție și ce reprezintă toate simbolurile pentru.

O modalitate de a răspunde la această întrebare este examinând mai multe calcule de probă cu funcția gamma. Înainte de a face acest lucru, există câteva lucruri din calcul pe care trebuie să le cunoaștem, cum ar fi modul de integrare a unei integrale improprii de tip I și e este o constantă matematică.

Înainte de a face orice calcul, examinăm motivația din spatele acestor calcule. De multe ori funcțiile gamma apar în spatele scenei. Mai multe funcții de densitate de probabilitate sunt declarate în termenii funcției gamma. Printre acestea se numără distribuția gama și distribuția t a elevilor. Importanța funcției gamma nu poate fi supraevaluată.

Primul exemplu de calcul pe care îl vom studia este găsirea valorii funcției gamma pentru Γ (1). Acest lucru este găsit prin setare z = 1 în formula de mai sus:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Calculăm integralul de mai sus în două etape:

• Integrala nedeterminată ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Aceasta este o integrală necorespunzătoare, așa că avem ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Următorul exemplu de calcul pe care îl vom considera este similar cu ultimul exemplu, dar creștem valoarea lui z de 1. Acum calculăm valoarea funcției gamma pentru Γ (2) prin setare z = 2 în formula de mai sus. Pașii sunt identici cu cei de mai sus:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Integrala nedeterminată ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Deși am crescut doar valoarea de z până la 1, este nevoie de mai multă muncă pentru a calcula această integrală. Pentru a găsi această integrală, trebuie să folosim o tehnică din calculul cunoscut sub numele de integrare pe părți. Acum folosim limitele integrării la fel ca mai sus și trebuie să calculăm:

lim_{b → ∞}- fi ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Un rezultat din calculul cunoscut sub denumirea de regula luiHospital ne permite să calculăm limita limită_{b → ∞}- fi ^{- b} = 0. Aceasta înseamnă că valoarea integralei noastre de mai sus este 1.

O altă caracteristică a funcției gamma și una care o conectează la factorial este formula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) pentru z orice număr complex cu un pozitiv real parte. Motivul pentru care acest lucru este adevărat este un rezultat direct al formulei pentru funcția gamma. Folosind integrarea pe părți putem stabili această proprietate a funcției gamma.