Soluții pentru probleme de contorizare

Numărarea poate părea o sarcină ușoară de îndeplinit. Pe măsură ce mergem mai adânc în zona de matematică cunoscut ca combinatorică, ne dăm seama că întâlnim un număr mare. De când factorial apare atât de des și un număr precum 10! este mai mare decât trei milion, numărarea problemelor se poate complica foarte repede dacă încercăm să enumerăm toate posibilitățile.

Uneori, atunci când luăm în considerare toate posibilitățile pe care le pot lua problemele noastre de numărare, este mai ușor să gândim prin principiile care stau la baza problemei. Această strategie poate dura mult mai puțin timp decât încercarea forței brute pentru a enumera o serie de combinații sau permutări.

Întrebarea „În câte moduri se poate face ceva?” este o întrebare diferită în întregime de „Care sunt căile că se poate face ceva? ”Vom vedea această idee în lucru în următorul set de numărare provocatoare Probleme.

Următorul set de întrebări implică cuvântul TRIANGLE. Rețineți că există un număr de opt scrisori. Să se înțeleagă că

1. În câte moduri pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE?
   Soluţie: Aici există un număr de opt opțiuni pentru prima literă, șapte pentru a doua, șase pentru a treia și așa mai departe. Prin principiul înmulțirii înmulțim pentru un total de 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 moduri diferite.
2. În câte moduri pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă primele trei litere trebuie să fie RAN (în acea ordine exactă)?
   Soluţie: Primele trei scrisori au fost alese pentru noi, lăsându-ne cinci scrisori. După RAN avem cinci opțiuni pentru următoarea scrisoare urmată de patru, apoi trei, apoi două, apoi una. După principiul înmulțirii, există 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 de moduri de a aranja literele într-un mod specificat.
3. În câte moduri pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă primele trei litere trebuie să fie RAN (în orice ordine)?
   Soluţie: Privește acest lucru ca două sarcini independente: prima aranjarea literelor RAN și a doua aranjarea celorlalte cinci litere. Sunt 3! = 6 moduri de a aranja RAN și 5! Moduri de a aranja celelalte cinci scrisori. Deci, sunt în total 3! x 5! = 720 moduri de a aranja literele TRIANGLE conform specificațiilor.
4. În câte moduri pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă primele trei litere trebuie să fie RAN (în orice ordine), iar ultima literă trebuie să fie o vocală?
   Soluţie: Priviți acest lucru ca trei sarcini: prima aranjarea literelor RAN, a doua alegerea unei vocale din I și E și a treia aranjarea celorlalte patru litere. Sunt 3! = 6 moduri de a aranja RAN, 2 moduri de a alege o vocală din literele rămase și 4! Moduri de a aranja celelalte patru scrisori. Deci, sunt în total 3! X 2 x 4! = 288 moduri de a aranja scrisorile TRIANGLE conform specificațiilor.
5. În câte moduri pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă primele trei litere trebuie să fie RAN (în orice ordine), iar următoarele trei litere trebuie să fie TRI (în orice ordine)?
   Soluţie: Din nou avem trei sarcini: prima aranjarea literelor RAN, a doua aranjarea literelor TRI și a treia aranjarea celorlalte două litere. Sunt 3! = 6 moduri de a aranja RAN, 3! modalități de a aranja TRI și două moduri de a aranja celelalte scrisori. Deci, sunt în total 3! x 3! X 2 = 72 moduri de a aranja literele TRIANGLE așa cum este indicat.
6. În câte moduri diferite se pot aranja literele cuvântului TRIANGLE dacă ordinea și plasarea vocalelor IAE nu pot fi schimbate?
   Soluţie: Cele trei vocale trebuie păstrate în aceeași ordine. Acum sunt în total cinci consoane de aranjat. Acest lucru se poate face în 5! = 120 moduri.
7. Cât de multe moduri diferite pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă ordinea vocalelor IAE nu poate pot fi schimbate, deși plasarea lor poate (IAETRNGL și TRIANGEL sunt acceptabile, dar EIATRNGL și TRIENGLA sunt nu)?
   Soluţie: Acest lucru este cel mai bine gândit în doi pași. Primul pas este să alegeți locurile pe care merg vocalele. Aici alegem trei locuri din opt, iar ordinea în care facem acest lucru nu este importantă. Aceasta este o combinație și există un total de C(8,3) = 56 moduri de a efectua acest pas. Restul de cinci litere pot fi aranjate în 5! = 120 moduri. Aceasta oferă un total de 56 x 120 = 6720 aranjamente.
8. Cât de multe moduri diferite pot fi aranjate literele cuvântului TRIANGLE dacă ordinea vocalelor IAE poate fi modificată, deși plasarea lor nu poate?
   Soluţie: Acesta este cu adevărat același lucru ca și numărul 4 de mai sus, dar cu litere diferite. Aranjăm trei scrisori în 3! = 6 moduri și celelalte cinci litere în 5! = 120 moduri. Numărul total de modalități pentru acest aranjament este de 6 x 120 = 720.
9. În câte moduri diferite se pot aranja șase litere ale cuvântului TRIANGLE?
   Soluţie: Deoarece vorbim despre un aranjament, aceasta este o permutare și există un total de P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 moduri.
10. În câte moduri diferite se pot aranja șase litere ale cuvântului TRIANGLE dacă trebuie să existe un număr egal de vocale și consoane?
    Soluţie: Există o singură modalitate de a selecta vocalele pe care le vom plasa. Alegerea consoanelor se poate face în C(5, 3) = 10 căi. Există apoi 6! modalități de a aranja cele șase scrisori. Înmulțiți aceste numere împreună pentru rezultatul de 7200.
11. În câte moduri diferite se pot aranja șase litere ale cuvântului TRIANGLE dacă trebuie să existe cel puțin o consoană?
    Soluţie: Fiecare aranjament format din șase litere îndeplinește condițiile, deci există P(8, 6) = 20.160 moduri.
12. În câte moduri diferite se pot aranja șase litere ale cuvântului TRIANGLE dacă vocalele trebuie să alterneze cu consoanele?
    Soluţie: Există două posibilități, prima literă este o vocală sau prima literă este o consoană. Dacă prima literă este o vocală, avem trei opțiuni, urmate de cinci pentru o consoană, două pentru o a doua vocală, patru pentru o a doua consoană, una pentru ultima vocală și trei pentru ultima consoană. Înmulțim acest lucru pentru a obține 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Prin argumente de simetrie, există același număr de aranjamente care încep cu o consoană. Aceasta oferă un total de 720 de aranjamente.
13. Câte seturi diferite de patru litere pot fi formate din cuvântul TRIANGLE?
    Soluţie: De vreme ce vorbim despre un a stabilit din patru scrisori dintr-un total de opt, comanda nu este importantă. Trebuie să calculăm combinația C(8, 4) = 70.
14. Câte seturi diferite de patru litere pot fi formate din cuvântul TRIANGLE care are două vocale și două consoane?
    Soluţie: Aici ne formăm setul în doi pași. Sunt C(3, 2) = 3 moduri de a alege două vocale dintr-un total de 3. Sunt C(5, 2) = 10 modalități de alegere a consoanelor dintre cele cinci disponibile. Acest lucru oferă un total de 3x10 = 30 seturi posibile.
15. Câte seturi diferite de patru litere pot fi formate din cuvântul TRIANGLE dacă dorim cel puțin o vocală?
    Soluţie: Acest lucru poate fi calculat după cum urmează:

• Numărul de mulțimi de patru cu o vocală este C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Numărul de seturi de patru cu două vocale este C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Numărul de seturi de patru cu trei vocale este C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Aceasta oferă un total de 65 de seturi diferite. În mod alternativ, am putea calcula că există 70 de moduri de a forma un set din orice patru litere și de a restra C(5, 4) = 5 modalități de obținere a unui set fără vocale.