Puncte maxime și de inflexiune ale distribuției Chi-Square

Statistici matematice folosește tehnici din diverse ramuri ale matematicii pentru a demonstra definitiv că afirmațiile referitoare la statistici sunt adevărate. Vom vedea cum se utilizează calculul pentru a determina valorile menționate mai sus atât a valorii maxime a distribuția chi-pătrat, care corespunde modului său, precum și găsiți punctele de inflexiune ale distribuție.

Înainte de a face acest lucru, vom discuta despre caracteristicile punctelor maxime și ale punctelor de inflexiune în general. De asemenea, vom examina o metodă de calculare a maximului punctelor de inflexiune.

Pentru un set discret de date, modul este cea mai frecvent întâlnită valoare. Pe o histogramă a datelor, aceasta ar fi reprezentată de cea mai înaltă bară. După ce cunoaștem cea mai mare bară, ne uităm la valoarea datelor care corespunde bazei pentru această bară. Acesta este modul pentru setul nostru de date.

Aceeași idee este folosită și în lucrul cu o distribuție continuă. De data aceasta pentru a găsi modul, căutăm cel mai înalt vârf în distribuție. Pentru un grafic al acestei distribuții, înălțimea vârfului este o valoare y. Această valoare y se numește un maxim pentru graficul nostru, deoarece valoarea este mai mare decât orice altă valoare y. Modul este valoarea de-a lungul axei orizontale care corespunde acestei valori y maxime.

Deși pur și simplu putem privi un grafic al unei distribuții pentru a găsi modul, există unele probleme cu această metodă. Precizia noastră este la fel de bună ca graficul nostru și este probabil să avem de estimat. De asemenea, pot exista dificultăți în graficarea funcției noastre.

O metodă alternativă care nu necesită grafic este folosirea calculului. Metoda pe care o vom folosi este următoarea:

1. Începeți cu funcția de densitate a probabilității f (X) pentru distribuirea noastră.
2. Calculați primul și al doilea derivați de a acestei funcții: f '(X) și f ''(X)
3. Setați această primă derivată egală cu zero f '(X) = 0.
4. Rezolvă pentru X.
5. Conectați valoarea (valorile) din pasul anterior în cea de-a doua derivată și evaluați. Dacă rezultatul este negativ, atunci avem un maxim local la valoarea x.
6. Evaluați funcția noastră f (X) la toate punctele X din pasul anterior.
7. Evaluați funcția densității probabilității pe orice puncte finale ale suportului său. Deci, dacă funcția are domeniu dat de intervalul închis [a, b], atunci evaluați funcția la punctele finale A și b.
8. Cea mai mare valoare la etapele 6 și 7 va fi maximul absolut al funcției. Valoarea x unde apare acest maxim este modul de distribuție.

Acum parcurgem pașii de mai sus pentru a calcula modul de distribuție cu chi-pătrat r grade de libertate. Începem cu funcția de densitate a probabilității f(X) care este afișat în imagine în acest articol.

f (X) = K X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Aici K este o constantă care implică funcția gamma și o putere de 2. Nu este necesar să cunoaștem specificul (cu toate acestea, ne putem referi la formula din imagine pentru acestea).

Prima derivată a acestei funcții este dată de utilizarea regula produsului la fel de bine ca regula lanțului:

f '( X ) = K (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Setăm această derivată egală cu zero și determinăm expresia din partea dreaptă:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)X^-1- 1/2]

De vreme ce constanta K, functie exponentiala și X^{r / 2-1} toate sunt zero, putem împărți ambele părți ale ecuației prin aceste expresii. Avem apoi:

0 = (r / 2 - 1)X^-1- 1/2

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2:

0 = (r - 2)X^-1- 1

Astfel 1 = (r - 2)X^-1și încheiem prin a avea x = r - 2. Acesta este punctul de-a lungul axei orizontale unde are loc modul. Acesta indică X valoarea vârfului distribuției noastre chi-pătrate.

O altă caracteristică a unei curbe se referă la modul în care se curbă. Porțiuni dintr-o curbă pot fi concave în sus, ca o majusculă U. Curbele pot fi, de asemenea, concave în jos și în formă de intersecție simbol ∩. În cazul în care curba se schimbă de la concavă în jos la concavă în sus sau invers, avem un punct de inflexiune.

A doua derivată a unei funcții detectează concavitatea graficului funcției. Dacă a doua derivată este pozitivă, atunci curba este concavă. Dacă a doua derivată este negativă, atunci curba este concavă în jos. Când a doua derivată este egală cu zero și graficul funcției schimbă concavitatea, avem un punct de inflexiune.

Pentru a găsi punctele de inflexiune ale unui grafic:

1. Calculați a doua derivată a funcției noastre f ''(X).
2. Setați această a doua derivată egală cu zero.
3. Rezolvați ecuația din pasul anterior pentru X.

Acum vedem cum să lucrăm prin etapele de mai sus pentru distribuția chi-pătrat. Începem prin diferențierea. Din lucrarea de mai sus, am văzut că primul derivat pentru funcția noastră este:

f '(X) = K (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Ne diferențiem din nou, folosind regula produsului de două ori. Noi avem:

f ''( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) X^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Setăm această valoare egală cu zero și împărțim ambele părți cu Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) X^{r / 2-2}

Combinând termeni similari avem:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}

Înmulțiți ambele părți cu 4X^{3 - r / 2}, acest lucru ne oferă:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X+ X^2.

Formula cvadratică poate fi folosită acum pentru a rezolva X.

X = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Extindem termenii care sunt duși la puterea 1/2 și vedem următoarele:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Aceasta înseamnă că:

X = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Din aceasta vedem că există două puncte de inflexiune. Mai mult, aceste puncte sunt simetrice față de modul de distribuție întrucât (r - 2) este la jumătatea distanței dintre cele două puncte de inflexiune.

Vedem cum ambele aceste caracteristici sunt legate de numărul de grade de libertate. Putem folosi aceste informații pentru a ajuta la schițarea unei distribuții chi-pătrate. De asemenea, putem compara această distribuție cu altele, cum ar fi distribuția normală. Putem vedea că punctele de inflexiune pentru o distribuție chi-pătrată apar în diferite locuri decât cele puncte de inflexiune pentru distribuția normală.