Exemplu de test Chi-Square pentru un experiment multinomial

O utilizare a distribuția chi-pătrat este cu teste de ipoteză pentru experimente multinomiale. Pentru a vedea cum este asta test de ipoteză funcționează, vom investiga următoarele două exemple. Ambele exemple funcționează prin același set de pași:

1. Formați ipotezele nule și alternative
2. Calculați statistica testului
3. Găsiți valoarea critică
4. Luati o decizie cu privire la respingerea sau nereusirea respingerii ipotezei noastre nule.

Pentru primul nostru exemplu, vrem să privim o monedă. O monedă corectă are o probabilitate egală cu 1/2 de a veni cu capete sau cozi. Aruncăm o monedă de 1000 de ori și înregistrăm rezultatele unui total de 580 de capete și 420 de cozi. Vrem să testăm ipoteza la un nivel de încredere de 95% că moneda pe care am aruncat-o este corectă. Mai formal, ipoteza nulăH₀ este că moneda este corectă. Întrucât comparăm frecvențele observate ale rezultatelor de la o monedă la frecvențele scontate de la o monedă corectă idealizată, trebuie utilizat un test chi-pătrat.

Începem prin calcularea statisticii chi-pătrate pentru acest scenariu. Există două evenimente, capete și cozi. Heads are o frecvență observată de f₁ = 580 cu frecvența preconizată de e₁ = 50% x 1000 = 500. Cozile au o frecvență observată de f₂ = 420 cu o frecvență preconizată de e₁ = 500.

Acum folosim formula pentru statistica chi-pătrat și vedem că χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂= 80²/500 + (-80)²/500 = 25.6.

În continuare, trebuie să găsim valoarea critică pentru distribuția chi-pătrată corectă. Întrucât există două rezultate pentru monedă, există două categorii de care trebuie luate în considerare. Numarul grade de libertate este una mai mică decât numărul de categorii: 2 - 1 = 1. Folosim distribuția chi-pătrat pentru acest număr de grade de libertate și vedem că χ²_0.95=3.841.

În cele din urmă, comparăm statistica chi-pătrată calculată cu valoarea critică din tabel. Începând cu data de 25.6> 3.841, respingem ipoteza nulă că aceasta este o monedă corectă.

O matriță corectă are o probabilitate egală cu 1/6 de rulare a unu, doi, trei, patru, cinci sau șase. Rulăm o matriță de 600 de ori și observăm că rulăm una de 106 ori, două de 90 de ori, trei de 98 de ori, patru de 102 ori, cinci de 100 de ori și șase de 104 ori. Vrem să testăm ipoteza la un nivel de 95% de încredere că avem un proces echitabil.

Există șase evenimente, fiecare cu frecvența preconizată de 1/6 x 600 = 100. Frecvențele observate sunt f₁ = 106, f₂ = 90, f₃ = 98, f₄ = 102, f₅ = 100, f₆ = 104,

Acum folosim formula pentru statistica chi-pătrat și vedem că χ² = (f₁ - e₁ )²/e₁ + (f₂ - e₂ )²/e₂+ (f₃ - e₃ )²/e₃+(f₄ - e₄ )²/e₄+(f₅ - e₅ )²/e₅+(f₆ - e₆ )²/e₆ = 1.6.

În continuare, trebuie să găsim valoarea critică pentru distribuția chi-pătrată corectă. Deoarece există șase categorii de rezultate pentru moarte, numărul de grade de libertate este unul mai mic decât acesta: 6 - 1 = 5. Folosim distribuția chi-pătrat pentru cinci grade de libertate și vedem că χ²_0.95=11.071.

În cele din urmă, comparăm statistica chi-pătrată calculată cu valoarea critică din tabel. Deoarece statistica chi-pătrată calculată este 1,6 este mai mică decât valoarea noastră critică de 11,071, noi nu reușesc să resping ipoteza nulă.