Care este inegalitatea lui Markov?

Inegalitatea lui Markov este un rezultat util în probabilitatea care oferă informații despre distribuția probabilităților. Aspectul remarcabil în acest sens este faptul că inegalitatea ține de orice distribuție cu valori pozitive, indiferent de alte caracteristici pe care le are. Inegalitatea lui Markov dă o limită superioară pentru procentul distribuției care este peste o anumită valoare.

Inegalitatea lui Markov spune că pentru o variabilă pozitivă aleatorie X și orice pozitiv numar realA, probabilitatea ca X este mai mare sau egal cu A este mai mică sau egală cu valorea estimata de X impartit de A.

Descrierea de mai sus poate fi enunțată mai succint folosind notație matematică. În simboluri, scriem inegalitatea lui Markov ca:

P (X ≥ A) ≤ E( X) /A

Pentru a ilustra inegalitatea, să presupunem că avem o distribuție cu valori non-negative (cum ar fi a distribuția chi-pătrat). Dacă această variabilă aleatoare X are valoarea așteptată de 3 vom analiza probabilitățile pentru câteva valori ale A.

• Pentru A = 10 Inegalitatea lui Markov spune asta P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Deci există o probabilitate de 30% X este mai mare de 10.
• Pentru A = 30 Inegalitatea lui Markov spune asta P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Deci există o probabilitate de 10% X este mai mare de 30.
• Pentru A = 3 Inegalitatea lui Markov spune asta P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Evenimentele cu o probabilitate de 1 = 100% sunt sigure. Deci, aceasta spune că o anumită valoare a variabilei aleatorii este mai mare sau egală cu 3. Acest lucru nu ar trebui să fie prea surprinzător. Dacă toate valorile din X au fost mai mici de 3, atunci valoarea preconizată ar fi, de asemenea, mai mică de 3.
• Ca valoare a A crește, coeficientul E(X) /A va deveni din ce în ce mai mic. Aceasta înseamnă că probabilitatea este foarte mică X este foarte, foarte mare. Din nou, cu o valoare așteptată de 3, nu ne-am aștepta să existe o mare parte a distribuției cu valori foarte mari.

Dacă știm mai multe despre distribuția cu care lucrăm, atunci de obicei putem îmbunătăți inegalitatea lui Markov. Valoarea folosirii acestuia este că deține pentru orice distribuție cu valori non-negative.

De exemplu, dacă cunoaștem înălțimea medie a elevilor la o școală elementară. Inegalitatea lui Markov ne spune că nu mai mult de o șesime dintre elevi pot avea o înălțime mai mare de șase ori înălțimea medie.

Cealaltă utilizare majoră a inegalității lui Markov este să demonstreze Inegalitatea lui Chebyshev. Acest fapt rezultă că numele „inegalitatea lui Chebyshev” se aplică și inegalității lui Markov. Confuzia numirii inegalităților se datorează și circumstanțelor istorice. Andrey Markov a fost elevul lui Pafnuty Chebyshev. Lucrările lui Chebyshev conțin inegalitatea care este atribuită lui Markov.