Învățăm destul de devreme în cariera noastră de matematică că factorial, definit pentru numere întregi non-negative n, este o modalitate de a descrie înmulțirea repetată. Este notat prin utilizarea unui semn de exclamare. De exemplu:
Singura excepție de la această definiție este zero factorial, unde 0! = 1. Pe măsură ce privim aceste valori pentru factorial, am putea să se împerechează n cu n!. Acest lucru ne-ar oferi punctele (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), etc. pe.
Definiția funcției gamma este foarte complexă. Implică o formulă cu aspect complicat, care pare foarte ciudat. Funcția gamma folosește unele calcule în definiția sa, precum și număr e Spre deosebire de funcțiile mai cunoscute, cum ar fi polinomii sau funcțiile trigonometrice, funcția gamma este definită ca integrala necorespunzătoare a altei funcții.
Definiția funcției gamma poate fi utilizată pentru a demonstra o serie de identități. Una dintre cele mai importante dintre acestea este că Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Putem folosi acest lucru și faptul că Γ (1) = 1 din calculul direct:
Dar nu trebuie să introducem doar numere întregi în funcția gamma. Orice număr complex care nu este un număr întreg negativ se află în domeniul funcției gamma. Aceasta înseamnă că putem extinde factorialul la alte numere decât numere întregi negative. Dintre aceste valori, unul dintre cele mai cunoscute (și surprinzătoare) rezultate este faptul că Γ (1/2) = √π.
Un alt rezultat care este similar cu ultimul este că Γ (1/2) = -2π. Într-adevăr, funcția gamma produce întotdeauna o ieșire a unui multiplu din rădăcina pătrată a pi atunci când un multiplu impar de 1/2 este introdus în funcție.
Funcția gamma apare în multe domenii, aparent nelegate, de matematică. În special, generalizarea factorialului oferit de funcția gamma este utilă în unele probleme de combinație și probabilitate. niste distribuții de probabilitate sunt definite direct în termenii funcției gamma. De exemplu, distribuția gama este indicată în termenii funcției gamma. Această distribuție poate fi utilizată pentru modelarea intervalului de timp dintre cutremure. Distribuția t a studentului, care poate fi folosit pentru datele în care avem o abatere standard a populației necunoscute, iar distribuția chi-pătrat este definită, de asemenea, în termenii funcției gamma.