Cum să găsiți valoarea de pornire a unei funcții exponențiale

ThoughtcoMar 23, 2020

Funcțiile exponențiale spun poveștile schimbărilor explozive. Cele două tipuri de funcții exponențiale sunt crestere exponentiala și degradare exponențială. Patru variabile - schimbare la sută, timp, suma la începutul perioadei de timp și suma la sfârșitul perioadei de timp - joacă roluri în funcții exponențiale. Acest articol se concentrează asupra modului de a găsi suma la începutul perioadei de timp, A.

Crestere exponentiala

Creștere exponențială: schimbarea care apare atunci când o sumă inițială este crescută cu o rată consistentă într-o perioadă de timp

Creștere exponențială în viața reală:

  • Valorile prețurilor la domiciliu
  • Valorile investițiilor
  • Creșterea apartenenței la un site popular de rețele sociale

Iată o funcție de creștere exponențială:

y = A(1 + b)X

  • y: Suma finală rămasă într-o perioadă de timp
  • A: Suma inițială
  • X: Timpul
  • factor de creștere este (1 + b).
  • Variabila, b, este modificare procentuală în forma zecimală.

Declin exponențial

Decădere exponențială: modificarea care apare atunci când o sumă inițială este redusă cu o rată consistentă într-o perioadă de timp

instagram viewer

Declin exponențial în viața reală:

  • Declinul publicului de ziare
  • Declinul accidentelor vasculare cerebrale în S.U.A.
  • Număr de persoane rămase într-un oraș lovit de uragane

Iată o funcție de descompunere exponențială:

y = A(1-b)X

  • y: Suma finală rămasă după decădere într-o perioadă de timp
  • A: Suma inițială
  • X: Timpul
  • factorul de degradare este (1-b).
  • Variabila, b, este o scădere procentuală în formă zecimală.

Scopul găsirii sumei originale

După șase ani, poate că vrei să urmezi o diplomă de licență la Dream University. Cu un preț de 120.000 de dolari, Dream University evocă terorismele de noapte financiare. După nopți nedormite, tu, mama și tata se întâlnesc cu un planificator financiar. Ochii de sânge ai părinților tăi se limpezesc atunci când planificatorul dezvăluie o investiție cu o rată de creștere de 8% care poate ajuta familia ta să atingă ținta de 120.000 de dolari. Studiază din greu. Dacă dumneavoastră și părinții investiți 75.620,36 USD astăzi, atunci Dream University va deveni realitatea voastră.

Cum să rezolvați suma originală a unei funcții exponențiale

Această funcție descrie creșterea exponențială a investiției:

120,000 = A(1 +.08)6

  • 120.000: Suma finală rămasă după 6 ani
  • .08: Rata de creștere anuală
  • 6: Numărul de ani pentru ca investiția să crească
  • A: Suma inițială pe care familia dvs. a investit-o

Aluzie: Mulțumită proprietății simetrice a egalității, 120.000 = A(1 +.08)6 este la fel ca A(1 +.08)6 = 120,000. (Proprietatea simetrică a egalității: Dacă 10 + 5 = 15, atunci 15 = 10 +5.)

Dacă preferați să rescrieți ecuația cu constanta, 120.000, din dreapta ecuației, atunci faceți acest lucru.

A(1 +.08)6 = 120,000

Acordată, ecuația nu arată ca o ecuație liniară (6A = 120.000 USD), dar este rezolvabil. Lipiți-l!

A(1 +.08)6 = 120,000

Atenție: nu rezolvați această ecuație exponențială împărțind 120.000 la 6. Este o matematică tentantă nu-nu.

1. Utilizare Ordinea operațiunilor a simplifica.

A(1 +.08)6 = 120,000

A(1.08)6 = 120.000 (Paranteză)

A(1.586874323) = 120.000 (exponent)

2. Rezolvați prin împărțire

A(1.586874323) = 120,000

A(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1A = 75,620.35523

A = 75,620.35523

Suma inițială sau suma pe care familia dvs. ar trebui să o investească este de aproximativ 75.620,36 USD.

3. Congelați - încă nu ați terminat. Utilizați ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.

120,000 = A(1 +.08)6

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6

120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Paranteze)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exponent)

120.000 = 120.000 (Înmulțire)

Exerciții practice: răspunsuri și explicații

Iată exemple de soluționare pentru suma inițială, având în vedere funcția exponențială:

  1. 84 = A(1+.31)7
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    84 = A(1.31)7 (Paranteze)
    84 = A(6.620626219) (exponent)
    Împărțiți de rezolvat.
    84/6.620626219 = A(6.620626219)/6.620626219
    12.68762157 = 1A
    12.68762157 = A
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    84 = 12.68762157(1.31)7 (Paranteze)
    84 = 12.68762157 (6.620626219) (exponent)
    84 = 84 (Înmulțire)
  2. A(1 -.65)3 = 56
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    A(.35)3 = 56 (Paranteză)
    A(.042875) = 56 (exponent)
    Împărțiți de rezolvat.
    A(.042875)/.042875 = 56/.042875
    A = 1,306.122449
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    A(1 -.65)3 = 56
    1,306.122449(.35)3 = 56 (Paranteză)
    1.306.122449 (.042875) = 56 (exponent)
    56 = 56 (Înmulțiți)
  3. A(1 + .10)5 = 100,000
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    A(1.10)5 = 100.000 (parenteză)
    A(1.61051) = 100.000 (exponent)
    Împărțiți de rezolvat.
    A(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
    A = 62,092.13231
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
    62,092.13231(1.10)5 = 100.000 (parenteză)
    62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (exponent)
    100.000 = 100.000 (Înmulțiți)
  4. 8,200 = A(1.20)15
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    8,200 = A(1.20)15 (Exponent)
    8,200 = A(15.40702157)
    Împărțiți de rezolvat.
    8,200/15.40702157 = A(15.40702157)/15.40702157
    532.2248665 = 1A
    532.2248665 = A
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    8,200 = 532.2248665(1.20)15
    8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (exponent)
    8.200 = 8200 (Ei bine, 8.199.9999... Doar o eroare de rotunjire.) (Înmulțiți.)
  5. A(1 -.33)2 = 1,000
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    A(.67)2 = 1.000 (Paranteză)
    A(.4489) = 1.000 (exponent)
    Împărțiți de rezolvat.
    A(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
    1A = 2,227.667632
    A = 2,227.667632
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
    2,227.667632(.67)2 = 1.000 (Paranteză)
    2.227.667632 (.4489) = 1.000 (exponent)
    1.000 = 1.000 (Înmulțiți)
  6. A(.25)4 = 750
    Utilizați Ordinea operațiunilor pentru a simplifica.
    A(.00390625) = 750 (exponent)
    Împărțiți de rezolvat.
    A(.00390625)/00390625= 750/.00390625
    1a = 192.000
    a = 192.000
    Folosiți Ordinea operațiunilor pentru a verifica răspunsul dvs.
    192,000(.25)4 = 750
    192,000(.00390625) = 750
    750 = 750