Un exemplu simplu de condițional probabilitate este probabilitatea ca o carte extrasă dintr-un pachet standard de cărți să fie rege. Există un număr de patru regi din 52 de cărți, astfel încât probabilitatea este pur și simplu 4/52. Legat de acest calcul este următoarea întrebare: „Care este probabilitatea ca noi să tragem un rege având în vedere asta am desenat deja o carte de pe punte și este un as? "Aici avem în vedere conținutul punții din carduri. Există încă patru regi, dar acum sunt doar 51 de cărți pe punte. Probabilitatea de a atrage un rege dat fiind faptul că un as a fost deja desenat este 4/51.
Probabilitate condițională este definit ca fiind probabilitatea unui eveniment dat fiind faptul că un alt eveniment a avut loc. Dacă denumim aceste evenimente A și B, atunci putem vorbi despre probabilitatea de A dat B. Ne-am putea referi și la probabilitatea de A dependent de B.
Notaţie
Notația pentru probabilitatea condiționată variază de la manual la manual. În toate notările, indicația este că probabilitatea la care ne referim depinde de un alt eveniment. Una dintre cele mai frecvente notații pentru probabilitatea de
A dat B este P (A | B). O altă notare folosită este PB( A ).Formulă
Există o formulă pentru probabilitatea condiționată care leagă aceasta cu probabilitatea de A și B:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
În esență, ceea ce spune această formulă este acela de a calcula probabilitatea condițională a evenimentului A având în vedere evenimentul B, ne schimbăm spațiul de probă pentru a consta doar din set B. Pentru a face acest lucru, nu considerăm tot evenimentul A, dar numai partea din A care este conținut și în B. Setul pe care tocmai l-am descris poate fi identificat în termeni mai familiari ca fiind intersecție de A și B.
Putem folosi algebră pentru a exprima formula de mai sus într-un mod diferit:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
Exemplu
Vom revizui exemplul cu care am început prin prisma acestor informații. Vrem să cunoaștem probabilitatea de a atrage un rege având în vedere că un as a fost deja desenat. Astfel, evenimentul A este că atragem un rege. Eveniment B este că tragem un as.
Probabilitatea ca ambele evenimente să se întâmple și tragem un as și apoi un rege corespunde lui P (A ∩ B). Valoarea acestei probabilități este 12/2652. Probabilitatea evenimentului B, că tragem un as este 4/52. Astfel, folosim formula de probabilitate condițională și vedem că probabilitatea de a atrage un rege dat decât a fost desenat un as este (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Alt exemplu
Pentru un alt exemplu, vom analiza experimentul de probabilitate unde ne aflăm rostogoliți două zaruri. O întrebare pe care ne-am putea-o pune este: „Care este probabilitatea ca am rulat trei, având în vedere că am rulat o sumă mai mică de șase?”
Aici evenimentul A este că am făcut rost de trei, iar evenimentul B este că am făcut o sumă mai mică de șase. Există în total 36 de moduri de a arunca două zaruri. Din aceste 36 de moduri, putem extrage o sumă mai mică de șase în zece moduri:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Evenimente independente
Există câteva cazuri în care probabilitatea condiționată de A având în vedere evenimentul B este egală cu probabilitatea de A. În această situație, spunem că evenimentele A și B sunt independenți unul de altul. Formula de mai sus devine:
P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),
și recuperăm formula potrivit căreia pentru evenimente independente probabilitatea ambelor A și B se constată prin înmulțirea probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente:
P (A ∩ B) = P (B) P (A)
Când două evenimente sunt independente, acest lucru înseamnă că un eveniment nu are efect asupra celuilalt. Răsfoiți o monedă și apoi alta sunt un exemplu de evenimente independente. O monedă nu are efect asupra celeilalte.
Măsuri de precauție
Fii foarte atent să identifici ce eveniment depinde de celălalt. În general P (A | B) nu este egal cu P (B | A). Aceasta este probabilitatea A având în vedere evenimentul B nu este aceeași cu probabilitatea de B având în vedere evenimentul A.
Într-un exemplu de mai sus, am văzut că la rularea a două zaruri, probabilitatea de a rula trei, dat fiind faptul că am rulat o sumă mai mică de șase a fost de 4/10. Pe de altă parte, care este probabilitatea de a rula o sumă mai mică de șase, având în vedere că am rulat un trei? Probabilitatea de a rula trei și o sumă mai mică de șase este de 4/36. Probabilitatea de a rula cel puțin unu trei este 11/36. Deci, probabilitatea condițională în acest caz este (4/36) / (11/36) = 4/11.