Definiția și utilizarea Uniunii în matematică

O operație care este frecvent utilizată pentru a forma seturi noi din cele vechi este denumită uniune. În uz comun, cuvântul uniune semnifică o adunare, cum ar fi sindicatele în muncă organizată sau Statul Uniunii adresa pe care S.U.A. Președintele face înaintea unei sesiuni comune a Congresului. În sensul matematic, unirea a două seturi păstrează această idee de reunire. Mai exact, unirea a două seturi A și B este ansamblul tuturor elementelor X astfel încât X este un element al setului A sau X este un element al setului B. Cuvântul care semnifică faptul că folosim o uniune este cuvântul „sau”.

Când folosim cuvântul „sau” în conversațiile de zi cu zi, este posibil să nu ne dăm seama că acest cuvânt este folosit în două moduri diferite. Modul este de obicei dedus din contextul conversației. Dacă v-ați întreba „Ați dori puiul sau friptura?” implicația obișnuită este că puteți avea unul sau altul, dar nu și ambele. Contrastați acest lucru cu întrebarea „Ați dori untul sau smântâna pe cartoful copt?” Aici este „sau” folosit în sensul incluziv, prin faptul că puteți alege doar unt, numai smântână sau ambele unt și acru cremă.

În matematică, cuvântul „sau” este folosit în sens incluziv. Deci, afirmația, "X este un element al A sau un element din B"înseamnă că una dintre cele trei este posibilă:

• X este un element al dreptului A și nu un element al B
• X este un element al dreptului B și nu un element al A.
• X este un element al ambelor A și B. (Am putea spune și asta X este un element al intersecției din A și B

Pentru un exemplu despre modul în care unirea a două seturi formează un set nou, să luăm în considerare seturile A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Pentru a găsi unirea acestor două seturi, enumerăm pur și simplu fiecare element pe care îl vedem, având grijă să nu duplicăm niciun element. Numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sunt fie într-un set, fie în celălalt, prin urmare unirea A și B este {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Pe lângă înțelegerea conceptelor referitoare la operațiile de teorie a seturilor, este important să se poată citi simboluri utilizate pentru a denota aceste operații. Simbolul folosit pentru unirea celor două seturi A și B este dat de A ∪ B. O modalitate de a-ți aminti simbolul ∪ se referă la unire este de a observa asemănarea acestuia cu un U capital, care este scurt pentru cuvântul „unire”. Fiți atenți, deoarece simbolul pentru unire este foarte similar cu simbolul pentru intersecție. Unul este obținut de la celălalt printr-un flip vertical.

Pentru a vedea această notare în acțiune, consultați exemplul de mai sus. Aici am avut seturile A = {1, 2, 3, 4, 5} și B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Deci, am scrie ecuația stabilită A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

O identitate de bază care implică unirea ne arată ce se întâmplă când luăm unirea oricărui set cu setul gol, notat cu numărul # 8709. Setul gol este setul fără elemente. Deci, alăturarea acestora la orice alt set nu va avea niciun efect. Cu alte cuvinte, unirea oricărui set cu setul gol ne va da setul inițial înapoi

Această identitate devine și mai compactă cu utilizarea notației noastre. Avem identitatea: A ∪ ∅ = A.

Pentru cealaltă extremă, ce se întâmplă când examinăm unirea unui set cu setul universal? Deoarece setul universal conține fiecare element, nu putem adăuga nimic altceva. Deci unirea sau orice set cu setul universal este setul universal.

Din nou, notația noastră ne ajută să exprimăm această identitate într-un format mai compact. Pentru orice set A și setul universal U, A ∪ U = U.

Există multe alte identități stabilite care implică utilizarea operațiunii de uniune. Desigur, este întotdeauna bine practică folosind limbajul teoriei de seturi. Câteva dintre cele mai importante sunt menționate mai jos. Pentru toate seturile A, și B și D noi avem:

• Proprietate reflectorizantă: A ∪ A =A
• Comutativitate: A ∪ B = B ∪ A
• Proprietate asociativă: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)
• Legea I a lui DeMorgan: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• Legea II a lui DeMorgan: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C