Ce sunt inversul, contrapositivul și inversul?

Declarațiile condiționale fac apariții peste tot. În matematică sau în altă parte, nu este nevoie de mult timp pentru a rula în forma „Dacă P apoi Q.“ Declarațiile condiționale sunt într-adevăr importante. Ceea ce este important, de asemenea, sunt afirmațiile care au legătură cu afirmația condițională inițială prin schimbarea poziției din P, Q și negația unei afirmații. Începând cu o afirmație originală, terminăm cu trei noi afirmații condiționale care poartă numele de invers, contrapositivul și invers.

Înainte de a defini contrariul, contrapositivul și inversul unei afirmații condiționale, trebuie să examinăm subiectul negației. Fiecare declarație din logică este fie adevărat, fie fals. Negarea unei enunțuri implică pur și simplu inserarea cuvântului „nu” în partea corectă a enunțului. Adăugarea cuvântului „nu” se face astfel încât să schimbe starea de adevăr a enunțului.

Va ajuta să privim un exemplu. Afirmația „The triunghi dreptunghic este echilateral ”are negație„ Triunghiul drept nu este echilateral ”. Negarea „10 este un număr egal” este afirmația „10 nu este un număr egal”. Desigur, pentru asta ultimul exemplu, am putea utiliza definiția unui număr impar și în schimb să spunem că „10 este un număr impar”. Notăm că adevărul unei afirmații este opus celui al negare.

Vom examina această idee într-un cadru mai abstract. Când afirmația P este adevărat, afirmația „nu P”Este fals. În mod similar, dacă P este falsă, negația sa „nuP" este adevarat. Negațiile sunt notate în mod obișnuit cu un tilde ~. Deci, în loc să scrie „nu P”Putem scrie ~P.

Acum putem defini inversul, contrapositivul și inversul unei enunțuri condiționale. Începem cu afirmația condiționată „Dacă P apoi Q.”

• Inversul declarației condiționale este „Dacă Q apoi P.”
• Contrapositivul enunțului condițional este „Dacă nu Q atunci nu P.”
• Inversul afirmației condiționale este „Dacă nu P atunci nu Q.”

Vom vedea cum funcționează aceste afirmații cu un exemplu. Să presupunem că începem cu afirmația condiționată „Dacă a plouat aseară, atunci trotuarul este ud.”

• Inversul declarației condiționale este „Dacă trotuarul este umed, atunci a plouat aseară.”
• Contrapositivul afirmației condiționale este „Dacă trotuarul nu este umed, atunci nu a plouat aseară.”
• Inversul declarației condiționale este „Dacă nu a plouat aseară, atunci trotuarul nu este ud.”

Ne putem întreba de ce este important să formăm aceste alte afirmații condiționale din cea inițială. O privire atentă la exemplul de mai sus dezvăluie ceva. Să presupunem că afirmația inițială „Dacă a plouat aseară, atunci trotuarul este umed” este adevărată. Care dintre celelalte afirmații trebuie să fie adevărate și ele?

• Versul „Dacă trotuarul este umed, atunci a plouat aseară” nu este neapărat adevărat. Trotuarul ar putea fi umed din alte motive.
• Inversul „Dacă nu a plouat aseară, atunci trotuarul nu este ud” nu este neapărat adevărat. Din nou, doar pentru că nu a plouat nu înseamnă că trotuarul nu este ud.
• Contrapositivul „Dacă trotuarul nu este umed, nu a plouat aseară” este o afirmație adevărată.

Ceea ce vedem din acest exemplu (și ceea ce se poate dovedi matematic) este că o afirmație condiționată are aceeași valoare de adevăr ca și contrapositivul ei. Spunem că aceste două afirmații sunt echivalente logic. De asemenea, vedem că o declarație condiționată nu este echivalentă logic cu inversul și inversul ei.

Întrucât o afirmație condițională și contrapositivul acesteia sunt logic echivalente, putem folosi acest lucru în avantajul nostru atunci când dovedim teoreme matematice. În loc să dovedim direct adevărul unei afirmații condiționale, putem folosi în schimb strategia de dovadă indirectă pentru a demonstra adevărul contrapositiv al acestei afirmații. Dovezile contrapositive funcționează deoarece, dacă contrapositivul este adevărat, datorită echivalenței logice, afirmația condițională inițială este de asemenea adevărată.

Se dovedește că, chiar dacă invers și invers nu sunt echivalente logic cu declarația condițională inițială, sunt logic echivalente unul cu celălalt. Există o explicație ușoară pentru acest lucru. Începem cu afirmația condiționată „Dacă Q apoi P”. Contrapositivul acestei afirmații este „Dacă nu P atunci nu Q.“ Întrucât inversul este contrapositivul invers, inversul și inversul sunt echivalente logic.