Varianța unei distribuții a unei variabile aleatorii este o caracteristică importantă. Acest număr indică răspândirea unei distribuții și se găsește prin pătratul deviație standard. Un discret utilizat frecvent distribuire este cea a distribuției Poisson. Vom vedea cum se calculează variația distribuției Poisson cu parametrul λ.
Distribuția Poisson
Distribuțiile Poisson sunt utilizate atunci când avem un continuum de un fel și socotim modificări discrete în acest continuum. Acest lucru se întâmplă când luăm în considerare numărul de persoane care ajung la un contor de bilete la un film în decurs de o oră numărul de mașini care circulă printr-o intersecție cu o oprire pe patru căi sau numără numărul de defecte apărute pe o lungime de sârmă.
Dacă facem câteva ipoteze clarificatoare în aceste scenarii, atunci aceste situații corespund condițiilor pentru un proces Poisson. Spunem apoi că variabila aleatorie, care contează numărul de modificări, are o distribuție Poisson.
Distribuția Poisson se referă de fapt la o familie infinită de distribuții. Aceste distribuții sunt echipate cu un singur parametru λ. Parametrul este unul pozitiv
numar real care este strâns legat de numărul preconizat de modificări observate în continuum. Mai mult, vom vedea că acest parametru este egal cu nu numai Rău a distribuției, dar și a variației distribuției.Funcția de masă de probabilitate pentru o distribuție Poisson este dată de:
f(X) = (λXe-λ)/X!
În această expresie, scrisoarea e este un număr și este constanta matematică cu o valoare aproximativ egală cu 2.718281828. Variabila X poate fi orice număr întreg non-negativ.
Calcularea variației
Pentru a calcula media unei distribuții Poisson, folosim această distribuție funcție generatoare de moment. Vedem asta:
M( T ) = E [etX] = Σ etXf( X) = ΣetX λXe-λ)/X!
Reamintim acum seria Maclaurin pentru eu. Deoarece orice derivat al funcției eu este eu, toate aceste derivate evaluate la zero ne oferă 1. Rezultatul este seria eu = Σ un/n!.
Prin utilizarea seriei Maclaurin pentru eu, putem exprima funcția generatoare de moment nu ca o serie, ci într-o formă închisă. Combinăm toți termenii cu exponentul din X. Prin urmare M(T) = eλ(et - 1).
Acum găsim variația luând a doua derivată a M și evaluarea acestui lucru la zero. De cand M’(T) =λeTM(T), folosim regula produsului pentru a calcula cea de-a doua derivată:
M’’(T)=λ2e2TM’(T) + λeTM(T)
Evaluăm acest lucru la zero și găsim asta M’’(0) = λ2 + λ. Folosim apoi faptul că M”(0) = λ pentru calcularea variației.
var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Acest lucru arată că parametrul λ nu este doar media distribuției Poisson, ci și variația acestuia.