Variabile aleatorii cu o distribuție binomială sunt cunoscute a fi discrete. Acest lucru înseamnă că există un număr nenumărat de rezultate care pot apărea într-o distribuție binomială, cu o separare între aceste rezultate. De exemplu, o variabilă binomială poate lua o valoare de trei sau patru, dar nu un număr între trei și patru.
Cu caracterul discret al unei distribuții binomiale, este oarecum surprinzător faptul că o variabilă continuă aleatorie poate fi utilizată pentru a aproxima o distribuție binomială. Pentru multi distribuții binomiale, putem folosi o distribuție normală pentru a ne aproxima probabilitățile binomiale.
Acest lucru poate fi văzut atunci când se uită n aruncări de monede și închiriere X fie numărul capetelor. În această situație, avem o distribuție binomială cu probabilitate de succes p = 0,5. Pe măsură ce creștem numărul de aruncări, vedem că probabilitatea histograma are o asemănare mai mare și mai mare cu o distribuție normală.
Declarația aproximării normale
Fiecare distribuție normală este complet definită de doi
numere reale. Aceste numere sunt media, care măsoară centrul distribuției și deviație standard, care măsoară răspândirea distribuției. Pentru o anumită situație binomială, trebuie să putem determina ce distribuție normală să folosească.Selectarea distribuției normale corecte este determinată de numărul de încercări n în setarea binomială și probabilitatea constantă de succes p pentru fiecare din aceste încercări. Aproximarea normală pentru variabila noastră binomială este o medie a np și o abatere standard de (np(1 - p)0.5.
De exemplu, să presupunem că am ghicit la fiecare dintre cele 100 de întrebări ale unui test cu alegere multiplă, unde fiecare întrebare a avut un răspuns corect din patru opțiuni. Numărul de răspunsuri corecte X este o variabilă binomială aleatorie cu n = 100 și p = 0.25. Astfel, această variabilă aleatorie are o medie de 100 (0,25) = 25 și o abatere standard de (100 (0,25) (0,75))0.5 = 4.33. O distribuție normală cu media 25 și abaterea standard de 4,33 va funcționa pentru aproximarea acestei distribuții binomiale.
Când este potrivită aproximarea?
Folosind unele matematici se poate demonstra că există câteva condiții de care trebuie să utilizăm o aproximare normală la distribuție binomială. Numărul de observații n trebuie să fie suficient de mare, iar valoarea de p astfel încât amândoi np și n(1 - p) sunt mai mari sau egale cu 10. Aceasta este o regulă generală, care este ghidată de practica statistică. Aproximarea normală poate fi întotdeauna folosită, dar dacă aceste condiții nu sunt îndeplinite, atunci este posibil ca aproximarea să nu fie atât de bună a unei aproximări.
De exemplu, dacă n = 100 și p = 0,25 atunci suntem justificați în utilizarea aproximării normale. Asta pentru ca np = 25 și n(1 - p) = 75. Deoarece ambele numere sunt mai mari de 10, distribuția normală corespunzătoare va face o treabă destul de bună în estimarea probabilităților binomiale.
De ce să folosim Aproximarea?
Probabilitățile binomiale sunt calculate utilizând o formulă foarte simplă pentru a găsi coeficientul binomial. Din păcate, din cauza factorialele în formulă, poate fi foarte ușor să te confrunți cu dificultăți de calcul cu binom formulă. Apropierea normală ne permite să ocolim oricare dintre aceste probleme, lucrând cu un prieten familiar, un tabel cu valorile unei distribuții normale.
De multe ori determinarea unei probabilități ca o variabilă aleatorie binomică să se încadreze într-un interval de valori este obositoare de calculat. Acest lucru se datorează faptului că pentru a găsi probabilitatea ca o variabilă binomială X este mai mare de 3 și mai puțin de 10, ar trebui să găsim probabilitatea ca X este egal cu 4, 5, 6, 7, 8 și 9, apoi adăugați toate aceste probabilități împreună. Dacă se poate utiliza aproximarea normală, va trebui în schimb să determinăm scorurile z corespunzătoare la 3 și 10, apoi să utilizăm un tabel de probabilitate cu punctaj z pentru distribuție normală standard.