Prelevare de probe cu sau fără înlocuire

Eșantionarea statistică poate fi făcut în mai multe moduri diferite. Pe lângă tipul de metodă de eșantionare pe care o folosim, există o altă întrebare referitoare la ceea ce se întâmplă în mod specific cu un individ pe care l-am selectat la întâmplare. Această întrebare care apare atunci când eșantionarea este "După ce selectăm un individ și înregistrăm măsurarea atributului pe care îl studiem, ce facem cu individul?"

Există două opțiuni:

• Putem înlocui individul înapoi în bazinul din care prelevăm.
• Putem alege să nu înlocuim individul.

Putem vedea foarte ușor că acestea duc la două situații diferite. În prima opțiune, înlocuirea lasă deschisă posibilitatea ca individul să fie ales aleatoriu a doua oară. Pentru a doua opțiune, dacă lucrăm fără înlocuire, atunci este imposibil să alegeți aceeași persoană de două ori. Vom vedea că această diferență va afecta calculul probabilităților legate de aceste probe.

Pentru a vedea modul în care gestionăm înlocuirea afectează calculul probabilităților, luați în considerare următorul exemplu de întrebare. Care este probabilitatea de a trage doi ași de la a

Această întrebare este ambiguă. Ce se întâmplă odată ce desenăm prima carte? Îl punem din nou în punte sau îl lăsăm afară?

Începem cu calcularea probabilității cu înlocuirea. Există patru ași și 52 de cărți, astfel încât probabilitatea de a atrage un singur as este de 4/52. Dacă înlocuim această carte și tragem din nou, atunci probabilitatea este din nou 4/52. Aceste evenimente sunt independente, deci multiplicăm probabilitățile (4/52) x (4/52) = 1/169, sau aproximativ 0,592%.

Acum vom compara acest lucru cu aceeași situație, cu excepția faptului că nu înlocuim cărțile. Probabilitatea de a atrage un as la prima remiză este încă 4/52. Pentru a doua carte, presupunem că un as a fost deja desenat. Acum trebuie să calculăm o probabilitate condiționată. Cu alte cuvinte, trebuie să știm care este probabilitatea de a desena un al doilea as, având în vedere că prima carte este și un as.

Acum rămân trei ași dintr-un total de 51 de cărți. Deci probabilitatea condițională a unui al doilea as după desenarea unui as este 3/51. Probabilitatea de a atrage doi ași fără înlocuire este (4/52) x (3/51) = 1/221, sau aproximativ 0,425%.

Vedem direct din problema de mai sus că ceea ce alegem să facem cu înlocuirea are influență asupra valorilor probabilităților. Poate schimba semnificativ aceste valori.

Există unele situații în care eșantionarea cu sau fără înlocuire nu schimbă în mod substanțial nici o probabilitate. Să presupunem că alegem la întâmplare două persoane dintr-un oraș cu o populație de 50.000, dintre care 30.000 dintre acești oameni sunt femei.

Dacă eșantionăm cu înlocuire, atunci probabilitatea alegerii unei femei la prima selecție este dată de 30000/50000 = 60%. Probabilitatea unei femei la a doua selecție este încă de 60%. Probabilitatea ca ambele persoane să fie de sex feminin este de 0,6 x 0,6 = 0,36.

Dacă eșantionăm fără înlocuire, prima probabilitate nu este afectată. A doua probabilitate este acum 29999/49999 = 0.5999919998..., care este extrem de aproape de 60%. Probabilitatea ca ambele să fie de sex feminin este de 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Probabilitățile sunt diferite din punct de vedere tehnic, cu toate acestea, sunt destul de aproape pentru a fi aproape indistinguibile. Din acest motiv, de multe ori, chiar dacă eșantionăm fără înlocuire, tratăm selecția fiecărui individ ca și cum ar fi independenți de ceilalți indivizi din eșantion.

Există și alte cazuri în care trebuie să luăm în considerare dacă să facem probă cu sau fără înlocuire. Un exemplu în acest sens este bootstrapping. Această tehnică statistică se încadrează la rubrica unei tehnici de eșantionare.

În bootstrapping începem cu un eșantion statistic al unei populații. Apoi folosim software pentru calcularea probelor de bootstrap. Cu alte cuvinte, computerul modelează cu înlocuire din eșantionul inițial.