Istoria Algebrei

Diferite derivări ale cuvântului „algebră”, care este de origine arabă, au fost date de diferiți scriitori. Prima mențiune a cuvântului se regăsește în titlul unei lucrări a lui Mahommed ben Musa al-Khwarizmi (Hovarezmi), care a înflorit cam la începutul secolului al IX-lea. Titlul complet este ilm al-jebr wa'l-muqabala, care conține ideile de restituire și comparație, sau opoziție și comparație, sau rezoluție și ecuație, jebr fiind derivat din verb Jabara, a reuni, și muqabala, din Gabala, a face egal. (Radacina Jabara este întâlnit și în cuvânt algebrista, ceea ce înseamnă un "os-setter", și este încă în uz comun în Spania.) Aceeași derivare este dată de Lucas Paciolus (Luca Pacioli), care reproduce expresia sub forma transliterare alghebra și almucabala, și atribuie invenția artei arabilor.

Alți scriitori au derivat cuvântul din particula arabă al (articolul definit) și gerber, însemnând „om”. Cu toate acestea, întrucât Geber s-a întâmplat să fie numele unui celebru filosof maur care a înflorit înăuntru despre secolul al XI-lea sau al XII-lea, s-a presupus că el a fost fondatorul algebrei, care a perpetuat de atunci Nume. Dovada lui Peter Ramus (1515-1572) este interesantă, dar nu dă nicio autoritate pentru afirmațiile sale singulare. În prefața lui

Deși termenul „algebră” este acum în uz universal, diverse matematică au fost folosite de matematicienii italieni în timpul Renașterii. Astfel îl găsim pe Paciolus numindu-l l'Arte Magiore; ditta dal vulgo la Regula de la Cosa peste Alghebra și Almucabala. Numele sunt magior, arta mai mare, este concepută pentru a o deosebi sunt minor, arta mai mică, termen pe care l-a aplicat aritmeticii moderne. A doua sa variantă, regulamentul lucrurilor, regula lucrului sau cantitatea necunoscută pare să fi fost în uz comun în Italia și cuvântul Cosa a fost păstrat timp de câteva secole sub formele coss sau algebră, cossică sau algebră, cossistă sau algebristă, etc. Alți scriitori italieni au numit-o Regula rei et recensământ, regula lucrului și a produsului sau rădăcina și pătratul. Principiul care stă la baza acestei expresii se regăsește probabil în faptul că a măsurat limitele atingerile lor în algebră, pentru că nu au putut să rezolve ecuații cu un grad mai mare decât cel patrat sau pătrat.

Franciscus Vieta (Francois Viete) a numit-o Aritmetica specifică, din cauza speciilor cantităților implicate, pe care le-a reprezentat simbolic prin diferitele litere ale alfabetului. Sir Isaac Newton a introdus termenul de aritmetică universală, deoarece este preocupat de doctrina operațiunilor, nu afectată de numere, ci de simboluri generale.

În pofida acestor și altor denumiri idiosincratice, matematicienii europeni au aderat la numele mai vechi, prin care subiectul este acum cunoscut în mod universal.

Continuare la pagina a doua.

Acest document face parte dintr-un articol despre Algebra din ediția din 1911 a unei enciclopedii, care nu este protejată aici în SUA Articolul este în domeniul public și puteți copia, descărca, tipări și distribui această lucrare așa cum vedeți potrivi.

S-au depus toate eforturile pentru prezentarea acestui text cu acuratețe și curățenie, dar nu sunt făcute garanții împotriva erorilor. Nici Melissa Snell și About About nu pot fi responsabile pentru problemele pe care le întâmpinați cu versiunea text sau cu orice formă electronică a acestui document.

Este dificil să se atribuie cu siguranță invenția oricărei arte sau științe unei anumite vârste sau rase. Câteva înregistrări fragmentare, care au ajuns la noi din civilizațiile trecute, nu trebuie considerate ca reprezentând totalitatea cunoștințelor lor și omiterea unei științe sau artă nu implică neapărat că știința sau arta a fost necunoscut. În trecut, a fost obiceiul de a atribui invenția algebrei grecilor, dar de la descifrarea Rhind papyrus de Eisenlohr această viziune s-a schimbat, căci în această lucrare există semne distincte ale unui algebric analiză. Problema particulară (hau) și cea de-a șaptea sa fac ca soluția să fie rezolvată, deoarece acum ar trebui să rezolvăm o ecuație simplă; dar Ahmes își variază metodele în alte probleme similare. Această descoperire duce invenția algebrei până la aproximativ 1700 î.C., dacă nu mai devreme.

Este probabil că algebra egiptenilor a fost de cea mai rudimentară natură, căci altfel ar trebui să ne așteptăm să găsim urme ale acesteia în lucrările aeometrelor grecești. dintre care Thales of Miletus (640-546 B.C.) a fost primul. În ciuda prolixității scriitorilor și a numărului de scrieri, toate încercările de a extrage o analiză algebrică din geometria lor teoremele și problemele au fost lipsite de fructe și, în general, se admite că analiza lor a fost geometrică și a avut puțină sau deloc afinitate cu algebră. Prima lucrare existentă care se apropie de un tratat despre algebră este de Diophantus (q.v.), un matematician alexandrin, care a înflorit în jurul lui A.D. 350. Originalul, care consta dintr-o prefață și treisprezece cărți, este acum pierdut, dar avem o traducere latină a primelor șase cărți și a fragment din altul pe numere poligonale de Xylander din Augsburg (1575) și traduceri latine și grecești de Gaspar Bachet de Merizac (1621-1670). Au fost publicate și alte ediții, dintre care am putea menționa pe Pierre Fermat (1670), T. L. Heath's (1885) și P. Tannery's (1893-1895). În prefața acestei lucrări, care este dedicată unui singur Dionisie, Diophantus își explică notația, denumirea puterile pătrate, cubul și al patrulea, dinamis, cub, dinamodinim și așa mai departe, în funcție de suma din indici. Necunoscutul pe care îl spune arithmos, numărul, iar în soluții îl marchează prin s final; el explică generarea de puteri, regulile de înmulțire și împărțire a cantităților simple, dar el nu tratează adăugarea, scăderea, înmulțirea și divizarea compusului cantități. El continuă apoi să discute diverse artificii pentru simplificarea ecuațiilor, oferind metode care sunt încă în uz comun. În corpul lucrării el arată o ingeniozitate considerabilă în reducerea problemelor sale la ecuații simple, care admit fie o soluție directă, fie se încadrează în clasa cunoscută drept ecuații nedeterminate. Această ultimă clasă a discutat atât de asiduu încât sunt adesea cunoscute sub numele de probleme diofantine și metodele de soluționare a acestora ca Diophantine analiză (vezi ECHAȚIE, Indeterminat.) Este greu de crezut că această lucrare a lui Diofant a apărut spontan într-o perioadă de stagnare generală. Este mai mult decât probabil că a fost îndatorat de scriitorii anterioare, pe care omite să le menționeze și ale căror opere sunt acum pierdute; cu toate acestea, dar pentru această lucrare, ar trebui să fim conduși să presupunem că algebra era aproape, dacă nu în întregime, necunoscută grecilor.

Romanii, care i-au succedit pe greci ca principală putere civilizată în Europa, nu au reușit să-și pună la dispoziție comorile literare și științifice; matematica a fost cu totul neglijată; și dincolo de câteva îmbunătățiri ale calculelor aritmetice, nu sunt înregistrate avansuri materiale.

În dezvoltarea cronologică a subiectului nostru trebuie să apelăm acum la Orient. Cercetarea scrierilor matematicienilor indieni a arătat o distincție fundamentală între grec și Mintea indiană, prima fiind preeminent geometrică și speculativă, a doua aritmetică și în principal practic. Constatăm că geometria a fost neglijată decât în ​​măsura în care a servit astronomiei; trigonometria a fost avansată, iar algebra s-a îmbunătățit mult dincolo de realizările lui Diofant.

Continuare la pagina trei.

Acest document face parte dintr-un articol despre Algebra din ediția din 1911 a unei enciclopedii, care nu este protejată aici în SUA Articolul este în domeniul public și puteți copia, descărca, tipări și distribui această lucrare așa cum vedeți potrivi.

S-au depus toate eforturile pentru prezentarea acestui text cu acuratețe și curățenie, dar nu sunt făcute garanții împotriva erorilor. Nici Melissa Snell și About About nu pot fi responsabile pentru problemele pe care le întâmpinați cu versiunea text sau cu orice formă electronică a acestui document.

Cel mai timpuriu matematician indian despre care avem anumite cunoștințe este Aryabhatta, care a înflorit cam la începutul secolului 6 al erei noastre. Faima acestui astronom și matematician se bazează pe munca sa, Aryabhattiyam, al cărui al treilea capitol este dedicat matematicii. Ganessa, un eminent astronom, matematician și scholiast al Bhaskara, citează această lucrare și face mențiuni separate despre cuttaca ("pulverizer"), un dispozitiv pentru efectuarea soluției de ecuații nedeterminate. Henry Thomas Colebrooke, unul dintre primii investigatori moderni ai științei hinduse, presupune că tratatul Aryabhatta s-a extins la ecuații patratice determinate, ecuații indeterminate de gradul I și, probabil, la al doilea. O lucrare astronomică, numită Surya-Siddhanta („cunoașterea Soarelui”), de autor incert și probabil aparținând secolului al IV-lea sau al V-lea, a fost considerat de mare merit de către hinduși, care a clasat-o doar pe locul doi la opera lui Brahmagupta, care a înflorit aproximativ un secol mai tarziu. Este de mare interes pentru studentul istoric, deoarece prezintă influența științei grecești asupra matematicii indiene într-o perioadă anterioară Aryabhatta. După un interval de aproximativ un secol, timp în care matematica a atins cel mai înalt nivel, a înflorit Brahmagupta (b. A.D. 598), a cărei lucrare intitulată Brahma-sphuta-siddhanta („Sistemul revizuit al lui Brahma”) conține mai multe capitole dedicate matematicii. Dintre alți scriitori indieni se poate menționa Cridhara, autorul unui Ganita-sara („Quintessence of Calcul”) și Padmanabha, autorul unei algebre.

O perioadă de stagnare matematică pare să fi posedat mintea indiană pentru un interval de timp câteva secole, pentru lucrările următorului autor al oricărui moment stau însă puțin înainte Brahmagupta. Ne referim la Bhaskara Acarya, a cărei lucrare a Siddhanta-ciromani („Diademă a sistemului anastronomic”), scrisă în 1150, conține două capitole importante, Lilavati („ frumos [știință sau artă] ”) și Viga-ganita („ extragerea rădăcinii ”), care sunt date aritmeticii și algebră.

Traduceri în limba engleză a capitolelor matematice din Brahma-Siddhanta și Siddhanta-ciromani de H. T. Colebrooke (1817), și din Surya-Siddhanta pa. Burgess, cu adnotări ale lui W. D. Whitney (1860), poate fi consultat pentru detalii.

Întrebarea privind dacă grecii și-au împrumutat algebra de la hinduși sau invers, a fost subiectul multor discuții. Nu există nicio îndoială că a existat un trafic constant între Grecia și India și este mai mult decât probabil că un schimb de produse ar fi însoțit de o transfer de idei. Moritz Cantor suspectează influența metodelor diofantine, mai ales în hindus soluții de ecuații nedeterminate, unde anumiți termeni tehnici sunt, cu probabilitate, de De origine greacă. Cu toate acestea, este sigur că algebraistii hinduși erau cu mult înaintea lui Diofant. Deficiențele simbolismului grec au fost parțial remediate; scăderea a fost notată prin plasarea unui punct peste subtrahend; înmulțirea, prin plasarea bha (o prescurtare a bhavita, „produsul”) după factom; divizare, prin plasarea divizorului sub dividend; și rădăcină pătrată, prin introducerea ka (o prescurtare a karana, irațional) înainte de cantitate. Necunoscutul se numea yavattavat, iar dacă erau mai multe, primii au luat această denumire, iar ceilalți au fost desemnați după numele culorilor; de exemplu, x a fost notat de ya și y de ka (de la Kalaka, negru).

Continuare la pagina patru.

Acest document face parte dintr-un articol despre Algebra din ediția din 1911 a unei enciclopedii, care nu este protejată aici în SUA Articolul este în domeniul public și puteți copia, descărca, tipări și distribui această lucrare așa cum vedeți potrivi.

S-au depus toate eforturile pentru prezentarea acestui text cu acuratețe și curățenie, dar nu sunt făcute garanții împotriva erorilor. Nici Melissa Snell și About About nu pot fi responsabile pentru problemele pe care le întâmpinați cu versiunea text sau cu orice formă electronică a acestui document.

O îmbunătățire notabilă a ideilor lui Diophantus se regăsește în faptul că hindușii au recunoscut existența a două rădăcini a unei ecuații cvadratice, dar rădăcinile negative au fost considerate a fi inadecvate, deoarece nu s-a putut găsi nicio interpretare pentru ele. De asemenea, se presupune că au anticipat descoperiri ale soluțiilor ecuațiilor superioare. Au fost înregistrate mari progrese în studiul ecuațiilor nedeterminate, o ramură a analizei prin care Diophantus a excelat. Dar, în timp ce Diophantus viza să obțină o singură soluție, hindușii au încercat o metodă generală prin care orice problemă nedeterminată putea fi rezolvată. În acest fel, au fost complet reușite, căci au obținut soluții generale pentru ecuațiile ax (+ sau -) de = c, xy = ax + de + c (de când sunt redescoperite de Leonhard Euler) și cy2 = ax2 + b. Un caz particular al ultimei ecuații, și anume y2 = ax2 + 1, a impozitat grav resursele algebristilor moderni. A fost propus de Pierre de Fermat lui Bernhard Frenicle de Bessy, iar în 1657 tuturor matematicienilor. John Wallis și Lord Brounker au obținut împreună o soluție obositoare, care a fost publicată în 1658, iar mai apoi în 1668 de John Pell în Algebra sa. O soluție a fost dată și de Fermat în relația sa. Deși Pell nu a avut nicio legătură cu soluția, posteritatea a denumit ecuația Ecuația lui Pell sau Problemă, când mai corect ar trebui să fie Problema hindusă, recunoscând realizările matematice ale Brahmanilor.

Hermann Hankel a subliniat disponibilitatea cu care hindusii au trecut de la număr la magnitudine și invers. Deși această tranziție de la discontinuu la continuă nu este cu adevărat științifică, totuși a mărit material dezvoltarea algebrei, iar Hankel afirmă că dacă definim algebra drept aplicarea operațiunilor aritmetice atât la numere raționale, cât și iraționale sau în mărimi, atunci Brahmanii sunt adevărații inventatori ai algebră.

Integrarea triburilor împrăștiate din Arabia în secolul al VII-lea de religioase agitate propaganda lui Mahomed a fost însoțită de o creștere meteorică a puterilor intelectuale de până atunci rasa obscura. Arabii au devenit custodii științei indiene și grecești, în timp ce Europa era închiriată prin disensiuni interne. Sub stăpânirea abasidelor, Bagdad a devenit centrul gândirii științifice; medicii și astronomii din India și Siria s-au prezentat la instanța de judecată; Manuscrisele grecești și indiene au fost traduse (o lucrare începută de califul Mamun (813-833) și continuată abil de către urmașii săi); iar în aproximativ un secol, arabii au fost puși în posesia vastelor magazine de învățare greacă și indiană. Elementele lui Euclid au fost traduse pentru prima dată în domnia lui Harun-al-Rashid (786-809) și revizuite prin ordinul lui Mamun. Dar aceste traduceri au fost considerate imperfecte și a rămas pentru Tobit ben Korra (836-901) să producă o ediție satisfăcătoare. lui Ptolemeu Almagest, au fost, de asemenea, traduse lucrările lui Apollonius, Arhimede, Diophantus și porțiuni din Brahmasiddhanta. Primul matematician arab notabil a fost Mahommed ben Musa al-Khwarizmi, care a înflorit în domnia lui Mamun. Tratatul său despre algebră și aritmetică (cea din urmă parte este existentă doar sub forma unei traduceri latine, descoperită în 1857) nu conține nimic necunoscut grecilor și hindusilor; prezintă metode aliate cu cele din ambele rase, cu elementul grecesc predominant. Partea dedicată algebrei are titlul al-jeur wa'lmuqabala, iar aritmetica începe cu „Spoken has Algoritmi”, numele Khwarizmi sau Hovarezmi au trecut în cuvânt Algoritmi, care a fost transformat în continuare în cuvintele mai moderne algoritm și algoritm, semnificând o metodă de tehnica de calcul.

Continuare la pagina cinci.

Acest document face parte dintr-un articol despre Algebra din ediția din 1911 a unei enciclopedii, care nu este protejată aici în SUA Articolul este în domeniul public și puteți copia, descărca, tipări și distribui această lucrare așa cum vedeți potrivi.

S-au depus toate eforturile pentru prezentarea acestui text cu acuratețe și curățenie, dar nu sunt făcute garanții împotriva erorilor. Nici Melissa Snell și About About nu pot fi responsabile pentru problemele pe care le întâmpinați cu versiunea text sau cu orice formă electronică a acestui document.

Tobit ben Korra (836-901), născut la Harran în Mesopotamia, un lingvist, matematician și astronom cunoscut, a prestat un serviciu vizibil prin traducerile sale ale diferiților autori greci. Este importantă investigarea sa asupra proprietăților numerelor amiabile (q.v.) și a problemei de trisectare a unui unghi. Arabii seamănă mai mult cu hindusii decât cu grecii în alegerea studiilor; filosofii lor au îmbinat disertațiile speculative cu studiul mai progresiv al medicinei; matematicienii lor au neglijat subtilitățile secțiunilor conice și analiza diofantină și s-au aplicat mai ales pentru a perfecționa sistemul de numerele (vezi NUMERAL), aritmetica și astronomia (q.v ..) Astfel, s-a ajuns la faptul că, în timp ce s-au făcut unele progrese în algebră, talentele rasei au fost acordate astronomie și trigonometrie (q.v ..) Fahri des al Karbi, care a înflorit cam la începutul secolului al XI-lea, este autorul celei mai importante lucrări arabe algebră. El urmează metodele lui Diofant; munca sa asupra ecuațiilor indeterminate nu are nicio asemănare cu metodele indiene și nu conține nimic care nu poate fi adunat din Diofant. El a rezolvat ecuațiile patratice atât geometric, cât și algebric și, de asemenea, ecuațiile formei x2n + axn + b = 0; el a dovedit, de asemenea, anumite relații între suma primelor n numere naturale și sumele pătratelor și cuburilor lor.

Ecuațiile cubice au fost rezolvate geometric prin determinarea intersecțiilor secțiunilor conice. Problema lui Arhimede de a diviza o sferă de un plan în două segmente cu un raport prescris, a fost prima exprimată ca o ecuație cubică de Al Mahani, iar prima soluție a fost dată de Abu Gafar al Hazin. Determinarea laturii unui heptagon regulat care poate fi înscris sau circumscris unui cercul dat a fost redus la o ecuație mai complicată, care a fost rezolvată prima dată cu succes de Abul Gud. Metoda de rezolvare a ecuațiilor geometric a fost considerabil dezvoltată de Omar Khayyam din Khorassan, care a înflorit în secolul al 11-lea. Acest autor a pus sub semnul întrebării posibilitatea rezolvării cuburilor prin algebră pură și biquadratice prin geometrie. Prima lui afirmație nu a fost respinsă până în secolul al XV-lea, dar a doua a fost dispusă de Abul Weta (940-908), care a reușit să rezolve formele x4 = a și x4 + ax3 = b.

Deși fundamentele rezoluției geometrice a ecuațiilor cubice trebuie să fie atribuite grecilor (căci Eutociu îi atribuie lui Menaechmus două metode de rezolvare a ecuației x3 = a și x3 = 2a3), totuși dezvoltarea ulterioară de către arabi trebuie considerată ca una dintre cele mai importante realizări. Grecii reușiseră să rezolve un exemplu izolat; arabii au realizat soluția generală a ecuațiilor numerice.

O atenție considerabilă a fost îndreptată asupra diferitelor stiluri în care autorii arabi și-au tratat subiectul. Moritz Cantor a sugerat că, la un moment dat, existau două școli, una în simpatie cu grecii, cealaltă cu hindușii; și că, deși scrierile acestuia din urmă au fost studiate pentru prima dată, ele au fost repede aruncate pentru metodele grecești mai perspicace, deci că, printre scriitorii arabi de mai târziu, metodele indiene au fost practic uitate și matematica lor a devenit esențial greacă în caracter.

Revenind la arabii din Occident găsim același spirit luminat; Cordova, capitala imperiului maur din Spania, a fost la fel de un centru de învățare ca Bagdad. Cel mai cunoscut matematician spaniol este Al Madshritti (d. 1007), a cărui faimă se bazează pe o disertație pe numere amiabile și pe școlile care au fost fondate de elevii săi de la Cordoya, Dama și Granada. Gabir ben Allah din Sevilla, numit în mod obișnuit Geber, a fost un astronom celebru și aparent priceput în algebră, căci se presupune că cuvântul „algebră” este compus din numele său.

Când imperiul maur a început să distrugă genialele daruri intelectuale pe care le-au hrănit atât de abundent în timpul a trei-patru secole s-au slăbit și după acea perioadă nu au reușit să producă un autor comparabil cu cele din 7 până la 11 secole.

Continuare la pagina șase.

Acest document face parte dintr-un articol despre Algebra din ediția din 1911 a unei enciclopedii, care nu este protejată aici în SUA Articolul este în domeniul public și puteți copia, descărca, tipări și distribui această lucrare așa cum vedeți potrivi.

S-au depus toate eforturile pentru prezentarea acestui text cu acuratețe și curățenie, dar nu sunt făcute garanții împotriva erorilor. Nici Melissa Snell și About About nu pot fi responsabile pentru problemele pe care le întâmpinați cu versiunea text sau cu orice formă electronică a acestui document.