Probabilități pentru rularea a trei zaruri

Zarurile oferă ilustrații minunate pentru concepte în probabilitate. Zarurile cele mai utilizate sunt cuburile cu șase laturi. Aici, vom vedea cum să calculăm probabilitățile pentru rularea a trei zaruri standard. Este o problemă relativ standard să calculăm probabilitatea sumei obținute de rostogolind două zaruri. Există un total de 36 de role diferite cu două zaruri, cu orice sumă de la 2 la 12 posibile.Cum se schimbă problema dacă adăugăm mai multe zaruri?

La fel cum o matriță are șase rezultate și două zaruri au 6² = 36 de rezultate, experimentul de probabilitate de rulare a trei zaruri are 6³ = 216 rezultate. Această idee se generalizează în continuare pentru mai multe zaruri. Dacă ne rostogolim n zar apoi sunt 6ⁿ rezultate.

De asemenea, putem lua în considerare sumele posibile din rularea mai multor zaruri. Cea mai mică sumă posibilă apare atunci când toate zarurile sunt cele mai mici, sau fiecare. Acest lucru dă o sumă de trei atunci când rulăm trei zaruri. Cel mai mare număr pentru o matriță este șase, ceea ce înseamnă că cea mai mare sumă posibilă apare atunci când toate cele trei zaruri sunt șase. Suma acestei situații este de 18.

Cand n zarurile sunt rulate, cea mai mică sumă posibilă este n iar cea mai mare sumă posibilă este 6n.

• Există un mod posibil în care trei zaruri pot totaliza 3
• 3 moduri pentru 4
• 6 pentru 5
• 10 pentru 6
• 15 pentru 7
• 21 pentru 8
• 25 pentru 9
• 27 pentru 10
• 27 pentru 11
• 25 pentru 12
• 21 pentru 13
• 15 pentru 14
• 10 pentru 15
• 6 pentru 16
• 3 pentru 17
• 1 pentru 18

După cum sa discutat mai sus, pentru trei zaruri, sumele posibile includ fiecare număr de la trei la 18. Probabilitățile pot fi calculate utilizând strategii de numărare și recunoscând că căutăm modalități de partitionare a unui număr în exact trei numere întregi. De exemplu, singura cale de a obține o sumă de trei este 3 = 1 + 1 + 1. Deoarece fiecare matriță este independentă de celelalte, o sumă precum patru poate fi obținută în trei moduri diferite:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Argumentele de numărare ulterioară pot fi utilizate pentru a găsi numărul de modalități de formare a celorlalte sume. Următoarele partiții pentru fiecare sumă:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Când trei numere diferite formează partiția, cum ar fi 7 = 1 + 2 + 4, există 3! (3x2x1) moduri diferite de permutare aceste numere. Deci, acest lucru ar conta spre trei rezultate în spațiul de probă. Când două numere diferite formează partiția, există trei moduri diferite de a permite aceste numere.

Împărțim numărul total de modalități de a obține fiecare sumă la numărul total de rezultate din spațiu de probăsau 216. Rezultatele sunt:

• Probabilitatea unei sume de 3: 1/216 = 0,5%
• Probabilitatea unei sume de 4: 3/216 = 1,4%
• Probabilitatea unei sume de 5: 6/216 = 2,8%
• Probabilitatea unei sume de 6: 10/216 = 4,6%
• Probabilitatea unei sume de 7: 15/216 = 7,0%
• Probabilitatea unei sume de 8: 21/216 = 9,7%
• Probabilitatea unei sume de 9: 25/216 = 11,6%
• Probabilitatea unei sume de 10: 27/216 = 12,5%
• Probabilitatea unei sume de 11: 27/216 = 12,5%
• Probabilitatea unei sume de 12: 25/216 = 11,6%
• Probabilitatea unei sume de 13: 21/216 = 9,7%
• Probabilitatea unei sume de 14: 15/216 = 7,0%
• Probabilitatea unei sume de 15: 10/216 = 4,6%
• Probabilitatea unei sume de 16: 6/216 = 2,8%
• Probabilitatea unei sume de 17: 3/216 = 1,4%
• Probabilitatea unei sume de 18: 1/216 = 0,5%

După cum se poate observa, valorile extreme ale 3 și 18 sunt cel mai puțin probabile. Cele mai probabile sunt sumele care sunt exact la mijloc. Acest lucru corespunde cu ceea ce a fost observat când două zaruri au fost rulate.