Vector Mathematics: O introducere de bază, dar cuprinzătoare

Aceasta este o introducere de bază, deși sperăm destul de cuprinzătoare, pentru a lucra cu vectori. Vectorii se manifestă într-o mare varietate de moduri de la deplasare, viteză și accelerație la forțe și câmpuri. Acest articol este dedicat matematicii vectorilor; aplicarea lor în situații specifice va fi abordată în altă parte.

A cantitatea vectorială, sau vector, oferă informații despre nu numai mărimea, ci și direcția cantității. Atunci când dați indicații către o casă, nu este suficient să spuneți că este la 10 mile distanță, dar direcția acelor 10 mile trebuie să fie furnizată și pentru ca informațiile să fie utile. Variabilele care sunt vectori vor fi indicate cu o variabilă cu caractere aldine, deși este obișnuit să vezi vectorii notate cu săgeți mici deasupra variabilei.

Așa cum nu spunem că cealaltă casă se află la o distanță de 10 km, mărimea unui vector este întotdeauna un număr pozitiv, sau mai degrabă valoarea absolută a „lungimii” vectorului (deși cantitatea nu poate fi o lungime, poate fi o viteză, accelerare, forță etc.) Un negativ în fața unui vector nu indică o modificare a mărimii, ci mai degrabă în direcția vector.

În exemplele de mai sus, distanța este cantitatea scalară (10 mile), dar deplasare este cantitatea vectorială (10 mile spre nord-est). În mod similar, viteza este o cantitate scalară în timp ce viteza este a vector cantitate.

A vector unitar este un vector care are o magnitudine de unu. De asemenea, un vector care reprezintă un vector de unitate este de obicei bold, deși va avea un carat (^) deasupra acesteia pentru a indica natura unității a variabilei. Vectorul unității X, atunci când este scris cu un karat, este, în general, citit ca "pălărie x", deoarece carat este un fel de pălărie pe variabilă.

vector zero, sau vector nul, este un vector cu o magnitudine de zero. Este scris ca 0 în acest articol.

Vectoarele sunt în general orientate pe un sistem de coordonate, dintre care cel mai popular este planul cartezian bidimensional. Planul cartezian are o axă orizontală cu eticheta x și o axă verticală etichetată y. Unele aplicații avansate ale vectorilor în fizică necesită utilizarea unui spațiu tridimensional, în care axele sunt x, y și z. Acest articol se va ocupa mai ales de sistemul bidimensional, deși conceptele pot fi extinse cu o atenție la trei dimensiuni fără prea multe probleme.

Vectoarele din sistemele de coordonate cu dimensiuni multiple pot fi împărțite în vectori componenți. În cazul bidimensional, aceasta rezultă în x-component și a y-component. Când spargeți un vector în componentele sale, vectorul este o sumă a componentelor:

F = F_X + F_y

tetaF_XF_yF

F_X / F = cos teta și F_y / F = păcat tetaceea ce ne dă
F_X = F cos teta și F_y = F păcat teta

Rețineți că numerele de aici sunt mărimile vectorilor. Cunoaștem direcția componentelor, dar încercăm să le găsim amploarea, așa că eliminăm informațiile direcționale și efectuăm aceste calcule scalare pentru a descoperi amploarea. O altă aplicare a trigonometriei poate fi folosită pentru a găsi alte relații (cum ar fi tangenta) care se referă între unele dintre aceste cantități, dar cred că este suficient pentru moment.

Mulți ani, singura matematică pe care o învață un student este matematica scalară. Dacă călătoriți 5 mile nord și 5 mile est, ați parcurs 10 mile. Adăugarea de cantități scalare ignoră toate informațiile despre direcții.

Vectoarele sunt manipulate oarecum diferit. Direcția trebuie întotdeauna luată în considerare la manipularea lor.

Când adăugați doi vectori, este ca și cum ați luat vectorii și i-ați așezat de la capăt la capăt și ați creat un nou vector care rulează de la punctul de plecare la punctul final. Dacă vectorii au aceeași direcție, atunci aceasta înseamnă doar adăugarea mărimilor, dar dacă au direcții diferite, poate deveni mai complexă.

Adăugați vectori împărțindu-i în componentele lor și apoi adăugând componentele, ca mai jos:

A + b = c
A_X + A_y + b_X + b_y =
( A_X + b_X) + ( A_y + b_y) = c_X + c_y

Cele două componente x vor rezulta în componenta x a noii variabile, în timp ce cele două componente y rezultă în componenta y a noii variabile.

Ordinea în care adăugați vectori nu contează. De fapt, mai multe proprietăți de la adăugarea scalară păstrează adăugarea vectorială:

Proprietate de identitate cu adaosul vectorial
A + 0 = A
Proprietate inversă a adăugării de vector
A + -A = A - A = 0
Proprietate reflectantă a adăugării de vector
A = A
Comutativitate de adaos de vector
A + b = b + A
Proprietatea asociativă a adăugării de vector
(A + b) + c = A + (b + c)
Proprietatea tranzitorie a adăugării de vector
Dacă A = b și c = b, apoi A = c

Cea mai simplă operație care poate fi efectuată pe un vector este să o înmulțiți cu un scalar. Această înmulțire scalară modifică magnitudinea vectorului. Cu alte cuvinte, face ca vectorul să fie mai lung sau mai scurt.

Când se înmulțește de ori un scalar negativ, vectorul rezultat va indica în direcția opusă.

produs scalar a doi vectori este o modalitate de a-i înmulți împreună pentru a obține o cantitate scalară. Aceasta este scrisă ca o înmulțire a celor doi vectori, cu un punct în mijloc reprezentând înmulțirea. Ca atare, este adesea numit produs punct a doi vectori.

Pentru a calcula produsul punct al doi vectori, luați în considerare unghiul dintre ei. Cu alte cuvinte, dacă au împărtășit același punct de plecare, care ar fi măsurarea unghiului (teta) între ele. Produsul punct este definit ca:

A * b = ab cos teta

ababba

În cazurile în care vectorii sunt perpendiculari (sau teta = 90 grade), cos teta va fi zero. Prin urmare, produsul punct al vectorilor perpendiculari este întotdeauna zero. Când sunt vectorii paralel (sau teta = 0 grade), cos teta este 1, deci produsul scalar este doar produsul mărimilor.

Aceste mici fapte îngrijite pot fi folosite pentru a demonstra că, dacă cunoașteți componentele, puteți elimina nevoia de a fi în întregime cu ecuația (bidimensională):

A * b = A_X b_X + A_y b_y

produs vectorial este scris în formă A X b, și este de obicei numit produs încrucișat a doi vectori. În acest caz, înmulțim vectorii și în loc să obținem o cantitate scalară, vom obține o cantitate vectorială. Acesta este cel mai dificil dintre calculele vectoriale cu care ne vom ocupa, așa cum este nu comutativ și implică utilizarea temutului regula dreapta, la care voi ajunge în scurt timp.

Din nou, considerăm doi vectori trași din același punct, cu unghiul teta între ele. Luăm întotdeauna cel mai mic unghi, deci teta va fi întotdeauna într-un interval de la 0 la 180 și, prin urmare, rezultatul nu va fi niciodată negativ. Mărimea vectorului rezultat este determinată după cum urmează:

Dacă c = A X b, apoi c = ab păcat teta

Produsul vectorial al vectorilor paraleli (sau antiparaleli) este întotdeauna zero

Produsul vectorial va fi perpendicular pe planul creat de la cei doi vectori. Dacă imaginezi avionul ca fiind plat pe o masă, întrebarea devine dacă vectorul rezultat merge în sus („ieșirea” noastră din tabel, din perspectiva noastră) sau în jos (sau „în” tabel, din al nostru perspectivă).

Pentru a descoperi acest lucru, trebuie să aplicați ceea ce se numește regula dreapta. Când am studiat fizica la școală, eu detestat regula din dreapta. De fiecare dată când am folosit-o, a trebuit să scot cartea pentru a vedea cum a funcționat. Sperăm că descrierea mea va fi ceva mai intuitivă decât cea la care am fost introdusă.

Daca ai A X b veți așeza mâna dreaptă pe toată lungimea b astfel încât degetele (cu excepția degetului mare) să se poată curba spre a indica A. Cu alte cuvinte, încercați să faceți unghiul teta între palmă și patru degete ale mâinii drepte. În acest caz, degetul mare, va rămâne direct în sus (sau în afara ecranului, dacă încercați să faceți acest lucru până la computer). Articulațiile tale vor fi aproximativ aliniate cu punctul de plecare al celor doi vectori. Precizia nu este esențială, dar vreau să vă faceți ideea din moment ce nu am o poză cu asta.

Dacă, totuși, aveți în vedere b X A, veți face invers. Îți vei pune mâna dreaptă A și orientează-ți degetele de-a lungul b. Dacă încercați să faceți acest lucru pe ecranul computerului, veți găsi imposibil, așa că folosiți-vă imaginația. Veți constata că, în acest caz, degetul dvs. imaginar este îndreptat către ecranul computerului. Aceasta este direcția vectorului rezultat.

Regula din dreapta arată următoarea relație:

A X b = - b X A

CABC

c_X = A_y b_z - A_z b_y
c_y = A_z b_X - A_X b_z
c_z = A_X b_y - A_y b_X

abc_Xc_yc

La niveluri superioare, vectorii pot deveni extrem de complexi cu care să lucreze. Cursuri întregi în colegiu, cum ar fi algebra liniară, dedică mult timp matricilor (pe care am evitat-o ​​cu drag în această introducere), vectorilor și spații vectoriale. Acest nivel de detaliu este dincolo de domeniul de aplicare al acestui articol, dar acest lucru ar trebui să ofere bazele necesare pentru cea mai mare parte a manipulării vectorilor care se realizează în sala de fizică. Dacă intenționați să studiați fizica mai în profunzime, veți fi introdus în concepte vectoriale mai complexe pe măsură ce continuați educația.