O întrebare firească de a pune despre distribuția probabilităților este: „Care este centrul ei?” Valoarea așteptată este o astfel de măsurare a centrului unei distribuții de probabilitate. Deoarece măsoară media, nu ar trebui să surprindă faptul că această formulă este derivată din cea a mediei.
Pentru a stabili un punct de plecare, trebuie să răspundem la întrebarea „Care este valoarea așteptată?” Să presupunem că avem o variabilă aleatorie asociată cu un experiment de probabilitate. Să spunem că repetăm acest experiment din nou și din nou. Pe parcursul lung al mai multor repetări ale aceluiași experiment de probabilitate, dacă am obținut în medie toate valorile noastre variabilă aleatorie, am obține valoarea așteptată.
În ceea ce urmează, vom vedea cum să utilizăm formula pentru valoarea preconizată. Vom analiza atât setările discrete cât și cele continue și vom vedea asemănările și diferențele din formule.
Formula unei variabile aleatorii discrete
Începem prin analizarea cazului discret. Data unei variabile aleatoare discrete
X, să presupunem că are valori X1, X2, X3,... Xnși probabilitățile respective p1, p2, p3,... pn. Aceasta înseamnă că funcția de masă de probabilitate pentru această variabilă aleatoare dă f(Xeu) = peu.Valoarea preconizată a X este dată de formula:
E (X) = X1p1 + X2p2 + X3p3 +... + Xnpn.
Folosind funcția de masă de probabilitate și notarea de însumare ne permite să scriem mai compact această formulă după cum urmează, unde însumarea este preluată pe index eu:
E (X) = Σ Xeuf(Xeu).
Această versiune a formulei este utilă de văzut, deoarece funcționează și atunci când avem un spațiu de probă infinit. Această formulă poate fi, de asemenea, ușor ajustată pentru cazul continuu.
Un exemplu
Rotiți o monedă de trei ori și lăsați X fie numărul capetelor. Variabila aleatorie X este discret și finit. Singurele valori posibile pe care le putem avea sunt 0, 1, 2 și 3. Aceasta are o distribuție de probabilitate de 1/8 pentru X = 0, 3/8 pentru X = 1, 3/8 pentru X = 2, 1/8 pentru X = 3. Utilizați formula de valoare preconizată pentru a obține:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
În acest exemplu, vedem că, pe termen lung, vom avea în medie 1,5 capete din acest experiment. Acest lucru are sens cu intuiția noastră, deoarece jumătate din 3 este 1,5.
Formula unei variabile aleatorii continue
Acum apelăm la o variabilă aleatorie continuă, pe care o vom denota X. Vom lăsa funcția de densitate a probabilității de X să fie dat de funcție f(X).
Valoarea preconizată a X este dată de formula:
E (X) = ∫ x f(X) dX.
Aici vedem că valoarea așteptată a variabilei noastre aleatorii este exprimată ca o integrală.
Aplicații cu valoare preconizată
Sunt multi aplicații pentru valoarea așteptată a unei variabile aleatorii. Această formulă prezintă o apariție interesantă în Paradoxul din Sankt Petersburg.