Distribuția binomului implică a distinct variabilă aleatorie. Probabilități într-un cadru binomial poate fi calculat simplu folosind formula pentru un coeficient binomial. Deși în teorie, acesta este un calcul ușor, în practică poate deveni destul de obositor sau chiar imposibil de calculat calculează probabilități binomiale. Aceste probleme pot fi evitate prin utilizarea în loc de a distributie normalapentru a aproxima o distribuție binomială. Vom vedea cum se face acest lucru parcurgând pașii unui calcul.
Pași în utilizarea aproximării normale
În primul rând, trebuie să stabilim dacă este adecvat să utilizăm aproximația normală. Nu în fiecare distribuție binomială este la fel. Unii prezintă suficient asimetria că nu putem folosi o aproximare normală. Pentru a verifica dacă trebuie utilizată aproximarea normală, trebuie să analizăm valoarea lui p, care este probabilitatea succesului și n, care este numărul de observații ale noastre variabilă binomială.
Pentru a utiliza aproximarea normală, avem în vedere ambele
np și n( 1 - p ). Dacă ambele numere sunt mai mari sau egale cu 10, atunci suntem justificați să folosim aproximația normală. Aceasta este o regulă generală și de obicei valorile mai mari np și n( 1 - p ), cu atât mai bine este aproximarea.Comparație dintre Binom și Normal
Vom compara o probabilitate exactă binomială cu cea obținută printr-o aproximare normală. Avem în vedere aruncarea a 20 de monede și dorim să știm probabilitatea ca cinci monede sau mai puțin să fie capete. Dacă X este numărul de capete, atunci vrem să găsim valoarea:
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5).
utilizarea formulei binomiale pentru fiecare din aceste șase probabilități ne arată că probabilitatea este de 2,0695%. Vom vedea acum cât de aproape va fi aproximarea noastră normală de această valoare.
Verificând condițiile, vedem că ambele np și np(1 - p) sunt egale cu 10. Acest lucru arată că putem folosi aproximarea normală în acest caz. Vom folosi o distribuție normală cu media np = 20 (0,5) = 10 și o abatere standard de (20 (0,5) (0,5))0.5 = 2.236.
Pentru a determina probabilitatea ca X este mai mică sau egală cu 5 trebuie să găsim z-scrieți 5 în distribuția normală pe care o folosim. Prin urmare z = (5 – 10)/2.236 = -2.236. Consultând un tabel din z-Costuri vedem că probabilitatea că z este mai mică sau egală cu -2.236 este de 1.267%. Acest lucru diferă de probabilitatea actuală, dar se află în limita a 0,8%.
Factor de corectare a continuității
Pentru a îmbunătăți estimarea noastră, este oportun să introducem un factor de corecție a continuității. Aceasta este folosită deoarece a distributie normala este continuu întrucât distribuție binomială este discret. Pentru o variabilă aleatorie binomială, o histogramă de probabilitate pentru X = 5 va include o bară care merge de la 4.5 la 5.5 și este centrată la 5.
Aceasta înseamnă că pentru exemplul de mai sus, probabilitatea ca X este mai mică sau egală cu 5 pentru o variabilă binomială ar trebui să fie estimată după probabilitatea că X este mai mică sau egală cu 5,5 pentru o variabilă normală continuă. Prin urmare z = (5.5 – 10)/2.236 = -2.013. Probabilitatea ca z