Uzual parametrii pentru distribuția probabilităților include media și abaterea standard. Media oferă o măsurătoare a centrului, iar abaterea standard spune cât de răspândită este distribuția. Pe lângă acești parametri cunoscuți, există și alții care atrag atenția asupra altor caracteristici decât răspândirea sau centrul. O astfel de măsurare este aceea a asimetria. Necazul oferă o modalitate de a atașa o valoare numerică asimetriei unei distribuții.
O distribuție importantă pe care o vom examina este distribuția exponențială. Vom vedea cum se dovedește că simțul unei distribuții exponențiale este 2.
Funcția de densitate a probabilității exponențiale
Începem prin a preciza funcția densității de probabilitate pentru o distribuție exponențială. Aceste distribuții au fiecare un parametru, care este legat de parametrul din cel aferent Procesul Poisson. Această distribuție este Exp (A), unde A este parametrul. Densitatea probabilității pentru această distribuție este:
f(X) = e-X/A/ A, unde X este non-negativ.
Aici e este matematica constant e adică aproximativ 2.718281828. Media și abaterea standard a distribuției exponențiale Exp (A) sunt ambele legate de parametrul A. De fapt, media și abaterea standard sunt ambele egale cu A.
Definiția Skewness
Greutatea este definită de o expresie legată de al treilea moment despre medie. Această expresie este valoarea așteptată:
E [(X - μ)3/σ3] = (E [X3] - 3μ E [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
Înlocuim μ și σ cu A, iar rezultatul este că înclinația este E [X3] / A3 – 4.
Nu mai rămâne decât să calculăm a treia moment despre origine. Pentru aceasta, trebuie să integrăm următoarele:
∫∞0X3f(X) dX.
Această integrală are o infinitate pentru una dintre limitele sale. Astfel, poate fi evaluat ca o integrală improprie de tip I. De asemenea, trebuie să stabilim ce tehnică de integrare să folosim. Deoarece funcția de integrat este produsul unei funcții polinomiale și exponențiale, va trebui să folosim integrare pe părți. Această tehnică de integrare este aplicată de mai multe ori. Rezultatul final este că:
E [X3] = 6A3
Apoi combinăm acest lucru cu ecuația noastră anterioară pentru simțire. Vedem că simțul este 6 - 4 = 2.
implicaţii
Este important de menționat că rezultatul este independent de distribuția exponențială specifică cu care începem. Gradul de distribuție exponențială nu se bazează pe valoarea parametrului A.
Mai mult, vedem că rezultatul este o înclinare pozitivă. Aceasta înseamnă că distribuția este înclinată spre dreapta. Acest lucru nu ar trebui să surprindă cum ne gândim la forma graficului funcției densității de probabilitate. Toate aceste distribuții au interceptarea y ca 1 // theta și o coadă care se află la extremitatea dreaptă a graficului, corespunzând valorilor ridicate ale variabilei X.
Calcul alternativ
Desigur, ar trebui să menționăm, de asemenea, că există un alt mod de a calcula neputința. Putem utiliza funcția de generare de moment pentru distribuția exponențială. Prima derivată a funcție generatoare de moment evaluat la 0 ne dă E [X]. În mod similar, cea de-a treia derivată a funcției de generare a momentului când este evaluată la 0 ne oferă E (X3].