Caracteristicile unui număr real

Ce este un număr? Ei bine, asta depinde. Există o varietate de tipuri diferite de numere, fiecare având propriile proprietăți particulare. Un singur număr, pe baza căruia statistici, probabilitatea și o mare parte din matematică se bazează pe acestea se numește un număr real.

Pentru a afla ce este un număr real, vom face mai întâi un scurt tur al altor tipuri de numere.

În primul rând învățăm despre numere pentru a număra. Am început să potrivim cu degetele numerele 1, 2 și 3. Atunci am continuat să mergem cât mai sus, ceea ce probabil nu a fost atât de înalt. Aceste numere de numărare sau numere naturale au fost singurele numere despre care știam.

Mai târziu, atunci când aveți de-a face cu scăderea, negativ au fost introduse numere întregi. Ansamblul numerelor întregi pozitive și negative este denumit set de numere întregi. La scurt timp după aceasta, au fost considerate numere raționale, numite și fracții. Deoarece fiecare număr întreg poate fi scris ca o fracție cu 1 în numitor, spunem că numerele întregi formează un subset al numerelor raționale.

grecii antici a realizat că nu toate numerele pot fi formate ca o fracție. De exemplu, rădăcina pătrată a 2 nu poate fi exprimată ca fracție. Aceste tipuri de numere se numesc numere iraționale. Numerele iraționale abundă și, într-un anumit sens, în mod surprinzător, există mai multe numere iraționale decât numere raționale. Alte numere iraționale includ pi și e.

Fiecare număr real poate fi scris ca o zecimală. Diferite tipuri de numere reale au diferite tipuri de expansiuni zecimale. Expansiunea zecimală a unui număr rațional se încheie, cum ar fi 2, 3.25 sau 1.2342, sau se repetă, cum ar fi .33333.. Sau .123123123.. . Spre deosebire de aceasta, expansiunea zecimală a unui număr irațional este neterminant și nerepetant. Putem vedea acest lucru în expansiunea zecimală a pi. Există un șir de cifre care nu se termină niciodată pentru pi și, mai mult, nu există nicio șir de cifre care se repetă la nesfârșit.

Numerele reale pot fi vizualizate prin asocierea fiecăruia la unul dintre numărul infinit de puncte de-a lungul unei linii drepte. Numerele reale au o ordine, ceea ce înseamnă că pentru oricare două numere reale distincte putem spune că unul este mai mare decât celălalt. Prin convenție, trecerea la stânga de-a lungul liniei de numere reale corespunde unui număr mai mic și mai mic. Deplasarea la dreapta de-a lungul liniei de număr real corespunde unui număr mai mare.

Numerele reale se comportă ca și alte numere cu care suntem obișnuiți să ne ocupăm. Putem să le adăugăm, scădem, le înmulțim și le împărțim (atâta timp cât nu ne divizăm cu zero). Ordinea de adăugare și înmulțire nu are importanță, deoarece există o proprietate comutativă. O proprietate distributivă ne spune modul în care înmulțirea și adăugarea interacționează între ele.

Așa cum am menționat anterior, numerele reale posedă o comandă. Dat fiind cele două numere reale X și y, știm că una și numai una dintre următoarele este adevărată:

X = y, X < y sau X > y.

Proprietatea care stabilește numerele reale de alte seturi de numere, cum ar fi raționalele, este o proprietate cunoscută sub numele de completitate. Completitudinea este puțin tehnică de explicat, dar noțiunea intuitivă este că setul de numere raționale are lacune în el. Setul de numere reale nu are lacune, deoarece este complet.

Ca ilustrație, vom analiza secvența numerelor raționale 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Fiecare termen al acestei secvențe este o aproximare la pi, obținută prin trunchierea expansiunii zecimale pentru pi. Termenii acestei secvențe se apropie și se apropie de pi. Cu toate acestea, așa cum am menționat, pi nu este un număr rațional. Trebuie să folosim numere iraționale pentru a conecta orificiile liniei numerice care apar doar luând în considerare numerele raționale.

Nu trebuie să surprindă faptul că există un număr infinit de numere reale. Acest lucru poate fi observat destul de ușor atunci când considerăm că numerele întregi formează un subset al numerelor reale. De asemenea, am putea observa acest lucru realizând că linia numerică are un număr infinit de puncte.

Ceea ce este surprinzător este faptul că infinitatea folosită pentru numărarea numerelor reale este de un alt fel decât infinitul folosit pentru numărarea numerelor întregi. Numere întregi, întregi și raționamente sunt nenumărate. Ansamblul numerelor reale este incontestabil infinit.

Numerele reale obțin numele lor pentru a le separa de o generalizare și mai mare a conceptului de număr. Numărul imaginar eu este definit ca fiind rădăcina pătrată a celei negative. Orice număr real înmulțit cu eu este de asemenea cunoscut ca un număr imaginar. Numerele imaginare ne întind cu siguranță concepția despre număr, întrucât nu sunt deloc ceea ce ne-am gândit atunci când am învățat să numărăm.